第 2 课时 三角恒等变换的应用题型一 三角恒等变换与三角函数性质的综合 【典例 1】 已知函数 f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．[思路导引] 先降幂，再用辅助角公式化为 Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究三角函数的性质．[解] (1) f(x)＝sin＋2sin2＝sin＋1－cos＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴f(x)的最小正周期为 T＝＝π.(2)当 f(x)取得最大值时，sin＝1，有 2x－＝2kπ＋，即 x＝kπ＋(k∈Z)，∴所求 x 的集合为.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．[针对训练]1．已知函数 f(x)＝2sin(x－3π)·sin＋2sin2－1，x∈R.(1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若 f(x0)＝，x0∈，求 cos2x0的值．[解] f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin.(1)f(x)的最小正周期为 π；最大值为 2，最小值为－1.(2)由(1)可知 f(x0)＝2sin.又 f(x0)＝，∴sin＝.由 x0∈，得 2x0＋∈，∴cos＝－＝－，cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.题型二三角恒等变换在实际生活中的应用【典例 2】 有一块以 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边 AD 落在半圆的直径上，另外两点 B，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为 a，如何选择关于点 O 对称的点 A，D 的位置，可以使矩形 ABCD 的面积最大？[思路导引] 在△AOB 中利用∠AOB 表示 OA，AB 的长，然后表示出矩形面积：2OA·OB，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值．[解] 画出图象如右图所示，设∠AOB＝θ，则 AB＝asinθ，OA＝acosθ.设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝2OA·AB，即 S＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ. θ∈，∴2θ∈(0，π)，当 2θ＝，即 θ＝时，Smax＝a2，此时，A，D 距离 O 点都为a.解决实际问题应首先设定主变量角 α 以及相关的常量与变量，建立含有角 α 的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．[针对训练]2.某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中割出一块一边在...
