高中数学 第五章 三角函数 6 三角恒等变换复习课学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

复习课(六) 三角恒等变换考点一 三角函数的求值问题三角函数求值常见的有给角求值、给值求值、给值求角．给角求值通常找到所给角之间及与特殊角之间的关系，利用三角公式达到相消求值．给值求值最为重要，通常要寻求已知角与所求角的关系，用已知角表示未知角从而求解．给值求角在上面基础上求出所求角的一个三角函数值，再结合角的范围求出角．【典例 1】 已知 α，β 为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求 cosβ 的值．[解] 0<α<，0<β<，∴－<α－β<，又 tan(α－β)＝－，∴－<α－β<0.又 cosα＝，0<α<，∴sinα＝.又 tan(α－β)＝－＝，且 sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝从而 cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝×－×＝.变角是给值求值问题最为常见的技巧，因此对于角的常见变换要熟悉．常见的变角技巧有 α＝(α＋β)－β，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝－，4α＝2·(2α)，＝2·等．另外还要熟悉一些互余、互补角的关系．[针对训练]1．设 cos＝－，sin＝，其中 α∈，β∈，求 cos 的值．[解] α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝＝，cos＝＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.考点二 三角函数式的化简与证明三角函数式化简的一般要求：(1)能求值的尽量求值．(2)化简的结果最简：次方数最低、三角函数名称最少，三角函数的证明题型比较少，主要也是考查三角恒等变换．【典例 2】 化简：.[解] 解法一：原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.解法二：原式＝＝＝＝＝＝＝＝2. 三角函数式化简的基本技巧(1)sinα，cosα→凑倍角公式．(2)1±cosα→升幂公式．(3)asinα＋bcosα→辅助角公式 asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)，其中 tanφ＝或asinα＋bcosα＝·cos(α－φ)，其中 tanφ＝.[针对训练]2．求证：tan2x＋＝.[证明] 证法一：左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．原式得证．证法二：右边＝＝＝＝＝＝tan2x＋＝左边．原式得证．考点三 三角函数的图象及变换三角函数的图象及变换是三角函数的重点内容，包括“知图求式”及平移伸缩变换．知图求式关键是初相 φ 的确定，图象变换注意变换的顺序是先平移再伸缩还是先伸缩再平移．【典例 3】 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过 y＝sinx 变换得来的？[解] (1)由图象知 A＝＝，k＝＝－1，T＝2×＝π，∴...