高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2 复数的四则运算教学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教学案

§2 复数的四则运算复数的加法与减法已知复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．问题 1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.问题 2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．加(减)法法则设 a＋bi 与 c＋di(a，b，c，d∈R)是任意复数，则(a＋bi)±(c＋di)＝( a ± c ) ＋ ( b ± d )i .2．运算律对任意的 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋ z 1(交换律)(z1＋z2)＋z3＝z1＋ ( z 2＋ z 3)(结合律).复数的乘法问题 1：复数的加减法类似多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：是．问题 2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足．问题 3：试举例验证复数乘法的交换律．提示：若 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故 z1z2＝z2z1.复数的乘法(1)定义：(a＋bi)(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i .(2)运算律：① 对任意 z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2· z 1结合律(z1·z2)·z3＝z1·( z 2· z 3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋ z 1z3② 复数的乘方：任意复数 z，z1，z2和正整数 m，n，有zmzn＝z m ＋ n ，(zm)n＝z mn ，(z1z2)n＝zz.共 轭 复 数观察下列三组复数：(1)z1＝2＋i；z2＝2－i；(2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i；(3)z1＝4i；z2＝－4i.问题 1：每组复数中的 z1与 z2有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数．问题 2：试计算每组中的 z1z2，你发现有什么规律？提示：z1与 z2的积等于 z1的实部与虚部的平方和．共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做共轭复数．复数 z的共轭复数用来表示，也就是当 z＝a＋bi 时，＝a － b i .于是 z＝a2＋b2＝| z | 2 .复数的除法我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数 a＋bi，c＋di(c＋di≠0)．若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi，则 x＋yi＝叫做复数a＋bi 除以 c＋di 的商．问题 1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用 a，b，c，d 表示出 x，y.提示：由(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi 得xc－yd＋(xd＋yc)i＝a＋bi.即...