高中数学《合情推理与演绎证明》文字素材3 新人教A版选修1-2

推理案例赏析合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实践和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理与演绎推理之间联系紧密，相辅相成，下面提供一个公式的推导过程，供同学们赏析，借此加深对两种推理的理解． 例１ 设1( )123S nn ，22222123Sn，已知1(1)( )2n nS n，探求2( )Sn 的一般公式． 思路１：（归纳的方案） 如表１所示，列举出2( )Sn 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．n1234562( )Sn1514305591 但是，从表１的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头： 1( )S n 与2( )Sn 会不会有某种联系？如表 2 所示，进一步列举出1( )S n 的值，比较1( )S n 与2( )Sn ，希望有所发现．n1234561( )S n1361015212( )Sn1514305591 观察了1( )S n 和2( )Sn 的相应数据，并没有发现明显的联系．怎么办呢？ 尝试计算．终于在计算1( )S n 和2( )Sn 的比时，发现“规律”了（表 3）n1234561( )S n1361015212( )Sn151430559121( )( )SnS n33537393113133 从表 3 中发现21( )21( )3SnnS n， 于是，猜想2(1)(21)( )6n nnSn． ① 公式①的正确性还需要证明． 思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？ 思路 2：（演绎的方案） 尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和． （1）把2( )Sn 中的各项表示出来，有21  1，2222(1 1)12 1 1  ，2223(21)2221  ，用心 爱心 专心12224(31)3231  ， 22(1)2(1)1nnn ，左右两边分别相加，得2221( )[( )][2( )2 ]SnSnnS nnn，等号两边的2( )Sn 被消去了，所以无法从中求出2( )Sn 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出2( )Sn ，却求出了1( )S n 的表达式，即212(1)( )22nnnn nS n．它启示我们：既然能用上面的方法求出1( )S n ，那么我们也应该可以用类似的方法求出2( )Sn ．（...