高中数学《几何概率》文字素材1 新人教B版必修3VIP专享

(图 1)CC1几种常见的几何概率模型几何概型是高中阶段一个重要的概率模型,其求解方法是多种多样的.但我们只要掌握了几种常见的几何概型,就可以做到“举一反三”,做到真正的了解和掌握这一类题目的求法.下面我们就介绍几种常见的几何概型.一、长度型的几何概率模型例 1、 如图 1 所示,平面上画了一些彼此相距 a2 的平行线，把一枚半径ar 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行相碰的概率。分析 硬币不与直线相碰，可以看作硬币的中心O 到直线的距离rOM ||，这样就可以把问题转化为中心O 到较近的一条直线的距离|| OM 满足aOMr||的概率问题。因为硬币是任意掷在平面上的，所以硬币中心O 到较近一条直线的距离|| OM 在0 到a 之间是等可能的任意一个值，所以这符合几何概型的条件。解 设事件 A={硬币不与任一条平行相碰}，为了确定硬币的位置，由硬币的中心O 向靠得最近的平行线引垂线， 垂足为 M，如图 1 所示，这样线段 OM 的长度的取值范围是a,0，只有当aOMr||时硬币不与平行线相碰。由几何概率公式求得：araAP)(。即硬币不与任一条平行相碰的概率为ara 。注 解决本题的关键是把硬币与直线的关系转化为中心到直线的距离，从而转化为长度型的几何概率问题。二、角度型的几何概率模型例 2、如图 2 所示，在直角三角形 ABC 中，030A，过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB于点 M，求使|AM|>|AC|的概率。分析 因为过一点作射线是均匀的，因而应把在ACB内任射线 CM 看作是等可能的。基本事件为射线 CM 落在ACB内任一处。使|AM|>|AC|的概率只与1ACC的大小有关系，所以这是符合几何概型的。解 记事件 A={作射线 CM，使|AM|>|AC|}，在 AB 上任取一点1C 使得||||1ACAC ，所以1ACC是等腰三角形，所以000175230180ACC，由几何概率公式求得：619015)(AP。即使|AM|>|AC|的概率为61 。注 此类题目容易与长度型的几何概率问题混淆，如果把问题看成在1AC 上取点 M 使|AM|<|AC|就说 M 在1AC 上是等可能的，但是此时射线 CM 是不均匀的，射线 CM 不是等可能的，解决本题的关键是找准基本事件抢救无效可能的看待问题的角度 。用心 爱心 专心1BAM2Or图 1图 2三、面积型的几何概率模型例 3、甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人 15分钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。分析 这是历史上有...