剖析向量的共线定理平面向量共线定理是向量线性运算中的重要内容,整个定理有两大方面的应用:一是利用定理证明向量共线(或三点共线、线线平行);二是逆用,即已知两个向量共线,那么其中一个向量必然可用另一个向量线性表示.本文试图从这两方面对向量共线定理予以剖析,供同学们参考.例 1 已知两个非零向量12,e e�不共线,若13131223 ,623 ,48ABee BCee CDee�,求证:, ,A B D 三点共线.证明:因为121212186(23 )ADABBCCDeeee�6AB�,所以 AD�与 AB�共线.又因为AD�与AB�共点 A ,所以, ,A B D 三点共线.点评:注意三点共线与向量共线是有区别的.因此,在利用向量共线定理证明三点共线时除了证明向量共线之外,还要强调两向量共点.例 2 已知,,,E F G H分别是四边形ABCD的边,,,AB BC CD DA的中点,证明:四边形 EFGH 是平行四边形.证明:在BCD中,,G F 为,CD CB 的中点,则11,22CGCD CFCB�,∴111222GFCFCGCBCDDB�,同理12HEDB�,∴GFHE�, 而,,,G F H E 不 在 同 一 条 直 线 上 ,∴//GFHE 且 GFHE, 故 四 边 形EFGH 是平行四边形.点评:本题利用向量共线定理将几何中的两直线平行问题转化为向量共线来处理,应注意向量共线不一定得到直线平行,还要指出,,,G F H E 不在同一条直线上.例 3 设12,e e�是两个不共线的向量,已知1212122,3 ,2ABeke CBee CDee�,若, ,A B D 三点共线,求k 的值.解:因为121212(2)(3 )4BDCDCBeeeeee�,又, ,A B D 三点共线,则存在实数 ,使 ABBD�,即122eke�=1212(4)4eeee�,所以12(2)(4 )0eke�.若 20 ,则1242kee�,则12,e e�共线,与题设矛盾,所以20 ,同理40k ,于是2040k ,解得8k .点评:本题利用三点共线这一条件,将其转化为向量共线问题,再利用已知条件得到关于用心 爱心 专心,k的 方 程 组 , 从 而 求 出 k 的 值 . 一 般 地 , 若12,e e�是 两 个 不 共 线 的 向 量 , 且1 1122122eu eeu e�,则12且12uu.例 4 如图,在ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ,若,ABmAM ACnAN�,求mn的值.解:在 ABC中,点O 是 BC 的中点,则1122AOABAC�.又,ABmAM ACnAN�,...
