巧用余弦定理 例 1 三角形中，三边之长为 10、14、16，求最大角与最小角的和．分析：本题若分别求出最大角与最小角，再求其和，不易求得准确值，因为这两个角均不是特殊角，因此，可以从反面入手，避繁就简．解：设边长为 14 的边所对的角为，则由余弦定理，得，∴．则最大角与最小角的和为 120°．例 2 设正数满足方程组，求的值． 分析：观察方程组中每一个方程的结构，发现它们与余弦定理的结构相似，则可以构造三角形求解． 解：原方程组，即构 造 如 下 图 所 示 的 三 角 形 ， 其 中，， 因为， 所以． 所以． 评析：这是一个用几何方法求解代数问题的范例，其难点在于根据已知条件构建几何模型，进而用几何图形的性质求得代数问题的解．用心 爱心 专心实际问题中显身手正弦定理、余弦定理在实际生活中有着极其广泛的应用．它们对经过抽象、概括最终转化为三角形中的边、角问题的实际应用题的求解十分有效．下面列举几例，以飨读者．一、测量距离例1 如图 1，某观测站在目标的南偏西 25°方向，从出发有一条南偏东 35°走向的公路，在处测得与相距 31km 的公路上的处有一个人正沿着此公路向走去，走 20km 到达，此时测得距离为 21km，求此人在处距处还有多远？解：由已知得，，故，又在中，．由余弦定理，得，即．解得或（舍去），因此，．故此人在处距处还有 15km．二、准确炮击 例 2 我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面处和处，已知，，，目标出现于地面处，测得，（如图 2），若准确炮击该目标，求炮弹的落点距我炮兵阵地的距离（精确到）？ 解：由，，得， 在中，由正弦定理，得，． 同理，在中，． 又，用心 爱心 专心 ． 故炮弹的落点距我炮兵阵地约． 点评：从例 1、例 2 的解题过程我们知道，解题的关键是将问题涉及的有关量集中在某一个或某几个三角形中，建立三角形模型，然后利用正弦定理或余弦定理解决．三、海上营求例 3 如图 3，某舰艇在处，测得遇险渔船在北偏东距离海里的处，此时得知该渔船正沿南偏东的方向，以每小时海里的速度航行，舰艇时速每小时海里．问舰艇朝什么方向前进可以尽快营救渔船？所需时间是多少（方向精确到）？ 解：设所需时间为 ，则，，． 由余弦定理，得， 解得或（舍去）． 此时，，， 由正弦定理，得， 解得 ． 舰艇沿北偏东方向前进小时，可以尽快营救渔船． 点评：本例解题的关键是将题中的量和示意图中的量相对...
