切割线定理妙解圆问题 平面几何中有切割线定理：如图 1 中，（1）图，圆 O 的切线 PA（A 为切点）与割线 PBC 满足关系2PAPB PC；（2）图，割线满足 PA PBPC PD；（3）图，割线交于圆内成为相交弦定理，即 PA PBPC PD．该定理在求最值、解方程等方面有许多巧妙的应用．一、在求最值中的应用 许多题目如果能够使用该定理，可以改进解题过程，减少运算量，为考试赢得宝贵的答题时间，下面的例子略去了原来比较复杂的解答（如三角换元、利用基本不等式等），直接给出简略的解答，以说明切割线定理在解题中的作用． 例 1 某人在一山坡 P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图 2 所示，塔高80BC 米，塔所在的山高 OB 为 220 米，OA=200 米，图中所示的山坡可视为直线l ，且点 P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为 ，1tan2 ，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）？ 解析：如图 3，建立平面直角坐标系，则(200 0)(0 220)(0 300)ABC，，，，，， 直线l 的方程为(200) tanyx，即1002xy ．用心 爱心 专心 延长 PABO，交于点 M ，则由200OA ，1tan2 ， 可得 OM=100，MB=320，MC=400． 由切割线定理，视角∠BPC 最大只需经过 B、C 作一个圆与直线l 相切于点 P ，则2MPMB MC，160 5MP ，又因为100 5MA ，则60 5AP ，易得此人距水平地面 60 米高时，观看塔的视角∠BPC 最大． 二、在求交点中的应用 例 2 已知( )(2005)(2006)f xxx的图象与 x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（ ） A．(01)，B．(0 2)，C．200502006，D．200602005， 解析：如图 4，常规方法是设出圆的一般方程，由圆心在直线12x 上，得1D ；由圆过三点(2005 0) ( 2006 0) (02005 2006)，，，，，，得22(2005 2006 1)2005 20060xyxy ．令0x 解 方 程2(2005 2006 1)2005 20060yy ，得1y 或2005 2006y ．故选（A）． 若利用相交弦定理：OA OBOCOD， 由于 A、B、D 三点的坐标分别是 (2005 0) ( 2006 0) (02005 2006)，，，，，，可求出1OC ， 所以此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（0，1），故选（A）． 作为选择题，最忌讳小题大做，注意应用切割线定理或逆用切割线定理可快速解决问题．用心 爱心 专心
