高中数学合理构造函数解导数问题VIP专享

合理构造函数解导数问题 构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例 1：（2009 年宁波市高三第三次模拟试卷 22 题）已知函数.(1) 若为的极值点，求实数 的值；(2) 若在上增函数，求实数 的取值范围；(3) 若时，方程有实根，求实数 的取值范围。解：（1）因为是函数的一个极值点，所以，进而解得：，经检验是符合的，所以 （2）显然结合定义域知道在上恒成立，所以且。同时此函数是时递减，时递增， 故此我们只需要保证，解得：（3）方法一、变量分离直接构造函数解：由于，所以： 当时，所以在上递增；当时，所以在上递减； 又 当时，所以在上递减；当时，所以上递增；当时，所以在上递减；又当时，x xg1原函数草图0xx xg 0671x二阶导数草图x xg010x671x一阶导数草图当时，则且的取值范围为，，方法二、 构造： 从而在上为增函数；从而在上为减函数 而 分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。那么怎样合理构造函数呢？（1）抓住问题的实质，化简函数1、已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值. （1）求的解析式；（2）是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由。解：（1） （2）假设满足要求的实数存在，则，即有： ，即有：构造函数 画图分析：y0ee2xy0310 xh进而检验，知,所以存在实数使得在区间内有且只有两个不等的实数根。点评：本题关键是构造了函数，舍弃了原函数中分母问题得到了简化。变式练习：设函数，求已知当时，恒成立，求实数 的取值范围。（2）抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题：例： 已知函数的图像在点处的切线方程为设（1）求证：当时，恒成立；（2）试讨论关于 的方程根的个数。解证：（1） （2）方程从而 因为所以方程可变为 令，得： 当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时， 又所以函数在同一坐标系的大致图像如图所示① 当即时，方程无解；x0x1237125y011 238② 当即时，方程一解；③ 当即时，方程有 2 个根。分析点评：一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合...