平面向量数量积最值问题的求解策略江苏省泰州市民兴实验中学 彭光宇（225300）近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.一、借助基本的向量运算降低问题难度例 1:(05 年江苏高考试题)在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是__________.分析:(如图)本题的突破口关键在于为的中线,故易知,所以:从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.解:为的中线又例 2:(04 年湖北高考试题)在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.分析:本题的突破口关键在于三点共线,从而联想到把和作 如 下 的 分 解 :, 分解之后,真可谓是海阔天空.故:解:又当,即(与同向)时,取到最大值 0.二、建立直角坐标系降低问题门槛对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角度出用心 爱心 专心 115 号编辑发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.例 1:另解:以点为圆心,所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系.设,则故的最小值为例 2:另解:以点为原点,边所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系.设,与的夹角为,则当即(与同向)时,的最大值为点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.练习:如图,已知等边的边长为,又以为圆心,半径为 作圆,是直径,试求的最大值,并指明此时四边形的形状. 答案:的最大值为 ,此时四边形为矩形.用心 爱心 专心 115 号编辑
