体积转换法解题例谈 解答某些立体几何问题时，如能依据题设条件及三棱锥可换底的几何特征对所求几何体进行合理的体积转换，可使这些问题的解答简捷、明快、独辟蹊径．现举例解析如下：例１ 如图１，在空间四面体中，若对棱，且，，是这两条异面直线的公垂线，且，求该四面体的体积．解析：如图１，连结，因为是异面直线的公垂线，所以．因为，故面，因而问题转化为求以面为底，和为顶点的两个三棱锥的体积之和，由于，则，故．评注：本题若直接求解则较为困难，这里利用“割”的思想将此三棱锥的体积转化为两个同底的三棱锥的体积之和，进而使本题简捷、巧妙地获解．例 2 如图 2，已知是棱长为 a 的正方体，分别为，的中点，求四棱锥的体积．解 析 ： 因 为，故四边形是菱形，连结，则，注意到三棱锥与三棱锥的高相等，故，又因为，则，所以．评注：本题若直接求解则较为困难，这里应用“体积转换”的思想将此四棱锥的体积转化为两个全等的三棱锥的体积之和，进而再将不容易求体积的三棱锥转化为容易求解体积的三棱锥，从而使问题获解．例 3 如图 3，在正方体中，分别为的中点，若，求三棱锥的体积．解析：取的中点为，连结，因为，平面，平面，用心 爱心 专心故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即，又因为，故，所以．评注：本题若直接求解，须先求出和点到平面的距离，但这样做较为困难．这里应用“体积转换”将问题得以巧妙地转化，进而使本题简捷、明快地获解．例４ 如图４，在正三棱锥中，三条侧棱长均为１，且两两互相垂直，求该三棱锥的内切球的半径．解析：设内切球的球心为，内切球的半径为，则三棱锥的体积转化为以为顶点，内切球的半径为高，四个侧面为底的三棱锥的体积之和，注意到，，而，，所以由可得，即．评注：本题若直接求解则较为冗繁，这里用“体积转换”的思想将此三棱锥的体积转化为四个等高的三棱锥的体积之和，进而建立关于内切球的半径 r 的方程，将不容易解决的问题简捷、巧妙地解决．用心 爱心 专心
