空间角与距离的向量解法河北徐水综合高中 张占江 邮编 072550邮箱 www.zhangzhanjiang16@tom..com从 19 世纪末到 20 世纪初，向量就成为一套具有优良通性的数学体系，用以研究空间性质。向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，掌握了向量运算的各种几何意义，能较好地利用向量这一工具解决实际问题。在高考中，涉及空间向量应用于立体几何的试题，着重考查的是应用空间向量的意识和应用空间向量求各种距离、各种角以及证明有关平行关系和垂直关系，常在解答题中出现。一、利用空间向量求角1、求线线角（如图 1），设异面直线 AB、CD 所成的角为，则有 cos = | cos〈，〉|2、求线面角（如图 2），设直线 AB 与平面所成的角为 ，是的法向量，则有 sin = | cos〈，〉|3、求二面角（1）（如图 3），设二面角为 ，、 分别是、 的法向量，则有cos = -| cos〈，〉|cos = | cos〈，〉|cos = - | cos〈，〉|cos = | cos〈，〉|（2）（如图 4），设二面角为，AB，CD，则有 =〈，〉例 1、如图 5 , 在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E、F 分别是棱 BC、CD 上的点，且BE＝CF．求异面直线 B1F 与 D1E 所成的角； 1ABCDα图 1αABCD图 2βαDCBAa图 3DAB图 4aCαβABCDD1A1B1C1EF图 5解：以 A 为原点，分别以为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图 6 设 BE＝x，则有 B1(a，0，a)，D1(0，a，a)，E(a，x，0)，F(a－x，a，0) ∴ ∴ 因此，B1F⊥D1E．即 B1F 与 D1E 所成的角为 90 说明：本题也可利用线面垂直来证明 B1F⊥D1E，也可通过平移直接求异面直线 B1F 与 D1E 所成的角，如图 7，连接BF、AE、A1D、AD1，在正方形 ABCD 中，由 BE=CF 可证得 BF AE，又 BF 为 B1F 在底面 ABCD 上的射影，B1FAE，又 B1F 在面 A1ADD1上的射影为 A1D，而 A1DAD1， B1F AD1，又 AD1 AE=A，B1F 面 AED1，而D1E面 AED1 B1F⊥D1E。 显然，利用此法比利用向量解要复杂的多，本题充分体现了利用向量法解决立体几何问题的优越性。例 2、如图 8，四棱锥 P - ABCD 中，PD 底面ABCD，底面 ABCD是直角梯形，BAD = ADC = 90 ，AB = AD = PD = 2，CD = 4，E 是 PB 的中点，以DA、DC、DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系。（1）若 点 F平 面 ABCD ， 且 FE 面PBC，，求 F 点坐标；（...
