第十一章 数系的扩充与复数§11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数：形如的数（），复数通常有小写字母 表示，即,其中叫做复数的实部、 叫做复数的虚部， 称做虚数单位.2. 分类：复数()中，当时，就是实数；除了实数以外的数，即当 b时，叫做虚数；当,b时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数与的实部与虚部分别相等，记作：=.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.6. 复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)；(2)=；(3)；7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2．则，而，则不一定成立，如时；3．，而则不一定成立；4．若不一定能推出；5．若，则=，但若则上式不一定成立.三、经典例题导讲[例 1]两个共扼复数的差是（ ）.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数 错解:当得到时就错误的选 B，忽略了 b 可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或当时，，为纯虚数当时，，，因此应选 D. 注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记用心 爱心 专心 忆有关概念性质. [例 2]判断下列命题是否正确 (1)若, 则 (2)若且，则 (3)若，则 错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件. 正解：(1)错，反例设则 (2)错，反例设，，满足，但不能比较大小. (3)错，，，故，都是虚数，不能比较大小.[例 3]实数 分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数. 解：实部，虚部.（1）当 时， 是实数；（2）当 ，且 时， 是虚数；（3） 当 或 时是纯虚数． [例 4] 设，当取何值时， (1) ; (2).分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．解：(1)由可得：解之得， 即：当 时 用心 爱心 专心 (2)当 可得： 或 ，即 时.[ 例 5]...
