高中数学立体几何中点到平面距离的求法

例谈点到平面距离的求法江苏省洪泽中学 花鹤波 邮编 223100立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。点到平面的距离的求法可分为三大类：一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定 转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。1、 用定义直接构造法例 1 、 如 图 ， 三 棱 锥 S-ABC 中 ，是 等 腰 三 角 形 ，，,且面 ABC，SA=3a。求点 A 到平面 SBC 的距离。解：作交 BC 于 D,连结 SD.平面 ABC,根据三垂线定理有又,平面 SAD。又平面 SBC，平面 SBC平面 ADS，且平面 SBC平面 ADS=SD 过点 A 作于 H，则 AH平面 SBC。在中，SA=3a,，故点 A 到平面 SBC 的距离为。【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。2、转移构造法（1）利用平行线转换点例 2、在直三棱柱中，,（b>a）（1）求证： (2)求点到平面的距离.解：(1)连结,则，又，故。知，得,知。（2）由（1）得.SADCHBEA1C1B1ABCG过作于 G, , 从而. 故即为所求的距离。易求。【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求，是我们常用的方法。（2）对称转移或利用定比分点例 3、如图，已知 ABCD 是矩形，AB=a，AD= b，PA平面 ABCD，PA=2c，Q 是 PA的中点．求 P 到平面 BQD 的距离．解：过 A 作垂足为 E，连结 QE。 平面 BQD 经过线段 PA 的中点，∴P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离．在△AQE 中，作 AHQE于 H． BDAE，BDQE，∴BD平面 AQE．∴BDAH，AH平面 BQE，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离．在 Rt△AQE 中， AQ=c，AE=，∴AH=. 例 4、已知正方体的棱长为 1，为上底面的中心。求点到平面的距离。析：点到平面的距离为线段的长，易求得.又为的中点，故点到平面的距离为。【点评】 转移构造常利用已知平面点分某条斜线段所成的比，体现BCDAPQEHOC1D1B1A1CDABEC'D'B'A'CDABEF着转化的思想。二、由点向平面引垂线，垂足无法确定或难确定时1、等体积法（利用三棱锥的体积公式）例 5、已知在棱长为 1 的正方体中，E、F 分别是、CD 的中点，求点 B 到平面的距离。 解：连结 AE、BF、EF，则点 B 到平面的距离...