高中数学特征函数的性质及其应用

特征函数的性质及其应用作者：杨天进 指导老师：陈怀军 地址：江苏淮安新马高级中学摘要 在一般情况下，数学期望、方差只能粗略地反映分布函数的某些性质，能够完全刻画分布函数的是它的特征函数.特征函数有时比分布函数更便于应用.如：要研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数，而独立随机变量和的分布律是各随机变量分布律的卷积，计算起来很复杂。但独立随机变量和的特征函数等于它的各被加项的特征函数的乘积。本文首先讨论了特征函数的一些性质及如何判别一个函数是否为特征函数；然后给出了特征函数与分布函数之间存在一一对应关系，并通过举例说明了特征函数在求数学期望与方差、证明极限定理、证明恒等式等方面的应用.这些都进一步说明了有时用特征函数比用分布函数做随机变量的研究工具更方便.关键词 特征函数 分布函数 数学期望1 引言 除了一些特殊的分布（如二项分布、普哇松分布、正态分布等）被它的数学期望和方差所唯一决定外。在一般情况下，数学期望、方差只能粗略地反映分布函数的某些性质，能够完全刻画分布函数的是它的特征函数.特征函数有时比分布函数更便于应用。例如，研究独立随机变量和的分布时，用分布函数是求卷积，而用特征函数则化为简单的乘法；矩的计算对分布函数是积分而对特征函数则是微分；在极限定理的研究中，特征函数尤其起着重要的工具作用.特征函数既能完全确定分布函数，又在处理独立随机变量和的分布及计算数字特征等方面比分布函数更为方便，这使得有必要进一步讨论特征函数的相关性质及其应用.用心 爱心 专心2 特征函数的定义及性质2.1 定义设是随机变量 的分布函数，称函数==（）为随机变量 的特征函数.特别，如果 为连续性型的，它的密度函数为,则它的特征函数为=如果 是离散型的，它的分布列为，则它的特征函数为== 下面给出一些重要分布的特征函数（[1]） 1. 单点分布的特征函数为 = 2. 二项分布的特征函数为 =. 3. 普哇松分布的特征函数为 =.4. 若服 从上 的 均 匀 分 布 ， 则的 特 征 函 数 为 ==.5.设，则 的特征函数为 =.6. 设,则 的特征函数为 .2.2 性质（[2]）性质 1. 特征函数在上一致连续且||=1，=2 （这里表示的共轭）. 性质 2. 是非负定的，即对于任意的一组实数及复数，恒有性质 3. 设是 的特征函数，则的特征函数为： 性质 4. 两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.利用归纳法，不难把上述性...