高中数学校本教辅教师版：余弦定理（二）素材（新人教版必修5）

第四课时：余弦定理（二）知识梳理1．余弦定理：(1)形式一：Acosbc2cba222，Bcosac2cab222，Ccosab2bac222形式二：bc2acbAcos222，ac2bcaBcos222，ab2cbaCcos222，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形 ABC 中 222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcA  ABC是锐角三角形典例剖析题型一：利用余弦定理解三角形例 1 在 ABC中，已知3sin5A ，sincos0AA，3 5a ，5b  ，求 c.解 sincos0AA且3sin5A ，∴ A 为钝角，24cos1 sin5AA，由余弦定理知2222cosabcbcA，∴2224(3 5)52 5()5cc   即28200cc，解得2c  或10c （舍去）∴2c  .评述 已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。熟练掌握余弦定理是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用。题型二：判断三角形的形状例 2 在 ABC中，若2222sinsin2coscosbCcBbcBC，试判断 ABC的形状.解：方法一：由正弦定理和已知条件得：2222sinsinsinsin2sinsincoscosBCCBBCBC， sinsin0BC  ，∴sinsincoscosBCBC，即cos()0BC ，B 、C 为 ABC的内角，∴90BC ，90A 故 ABC为直角三角形.方法二：原等式变形为：2222(1 cos)(1 cos)2coscosbCcBbcBC，即：222222coscos2coscosbcbCcBbcBC，用心 爱心 专心由余弦定理得：222222222222222222()()22222abcacbacbabcbcbcbcabacacab2222222222[()()]4abcacbbca222bca故 ABC为直角三角形.评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。备选题：余弦定理的应用例 3：已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角，且满足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB求证：A＋B＝120°证明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB可得 sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB又 sinA＝，sinB＝，sinC＝，∴＋－＝·整理得 a2＋b2－c2＝ab∴cosC＝＝又 0°＜C＜180°，∴C＝60°∴A＋B＝180°－C...