正、余弦定理的变式 正弦定理和余弦定理是中学数学中非常重要的三角公式，它们具有广泛的应用．为此，本文研究它们的一些变式及其应用，供同学们学习参考．一、定理的变式设的三个内角所对的边分别为，则有（1）；；．（2）；；．这两个变式可利用正弦定理和余弦定理以及三角恒等变换来证明，有兴趣的同学不妨自己试着证明一下．二、变式的应用例 1 在中，求证：．证明：当三角形是钝角或直角三角形时，结论显然成立．当三角形是锐角三角形时，由（1）得． ，∴，∴．同理可得；．三式相乘得，即．例 2 在三角形中，已知，，则的最大值为_____．解析：由（2）得，即，故，所以 的最大值为 100（当时取最大值）．注：此外，还有一些常用的变式，限于篇幅，这里不再一一介绍．其实这些变式归根结底还是正、余弦定理的活用、巧用．综上可看出，由正弦定理和余弦定理推导出的一些变式在解决一些有关边和角的问题时有着重要应用．记住、弄清这些变式有助于同学们进一步理解正弦定理和余弦定理的本质．同学们在学习过程中，也要善于从同一类型的问题中，概括出共同的本质属性和规律，由一例到一类，这样才能培养我们思维的广阔性，才能达到解一题，知一类，提高一步的学习效果．用心 爱心 专心正、余弦定理求解面积问题 正弦定理、余弦定理是解三角形的重要工具，应用十分广泛，与三角形的边或角有关的很多问题都可用它们来解决．下面举例介绍它们在求解三角形面积问题中的应用．例 1 在中，已知，，，求的面积．分析：本小题是给出三角形两个角的三角函数值及其中一个角所对的边长，求三角形的面积．主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技巧和运算能力．解：设的长分别为， 由，得，∴，．又，由正弦定理，得．∴．故．例 2 在中，，，，且有，求及此时三角形的面积．分析：由已知可求出，这样便可求得和的值，然后求出和，利用正弦定理可求出 a 和 b．解： ，又 ，∴，． ，∴，∴．∴，．由正弦定理，得，．．例 3 在中，已知，当的面积最大时，求 a用心 爱心 专心与 b 的夹角． 分析：本题是以向量为背景考察正弦定理和余弦定理的应用，并且涉及到二次函数求最值问题．解决该题的关键是把三角形的面积用向量表示出来，运用二次函数求最值的方法求面积最大时 a 的模，从而由余弦定理求出 a 与 b 的夹角．解：设， ，∴，即．在中，，由余弦定理，得．由...
