三角形四心的一种向量表示山西 大同机车中学 李学军几个记法：在△ABC 中，O 是其内部（不包括边界）一点，连结 AO 并延长交 BC 于 D，连结 BO 并延长交 CA 于 E，连结 CO 并延长交 AB 于 F。记：，，；，，；且有：记：，，引理 1.线段的定比分点的向量关系式（1）(1.1.1)；；(1.1.2)。(1.1.3)（2）若，，，则有：(1.2.1)；；(1.2.2)。(1.2.3)证明：只证明（1.1.1），其它同理。 用心 爱心 专心FDECABO图 1∴则有引理 2.(2.1.1)(2.1.2)(2.2.1)(2.2.2)(2.3.1)(2.3.2)且有(2.4)证明： 点 B、O、E 共线，且用心 爱心 专心∴………………①同理， 点 C、O、F 共线，且∴………………②∴，解得：………………③③ 代入①得：又由引理 1：共线得：由塞瓦定理得：代入上式得：………………④由③④得式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3.2)可同理证明。用心 爱心 专心定理 1. 若 O 是三角形 ABC 的重心，则，且.当 O 为三角形 ABC 的重心时，有，代入引理 2 可得。定理 2. 若 O 是三角形 ABC 的内心，则，且.当 O 为三角形 ABC 的内心时，内三角形的内角平分线定理，有，代入引理 2 可得。定理 3. 若 O 是三角形 ABC 的垂心，则： .(3.1)且.证明：当三角形不为直角三角形时O 为三角形 ABC 的垂心时，有：，代入引理 2 有：=再由正弦定理得：代入上式，分子、分母同除以 2RsinAsinBsinC，可得：。把，代入引理 2 整理得：若三角形为直角三角形，当 A 为直角时，△ABC 的垂心即为点 A，所以，而 cotA=0，故（3.1）成立用心 爱心 专心当 B 为直角时，△ABC 的垂心即为点 B，，cotB=0，（3.1）成立；当 C 为直角时，△ABC 的垂心即为点 C，，cotC=0，（3.1）成立。引理 3.证明：由引理 2：==由前边的记法及由塞瓦定理得：，代入上式得：同理：由平面向量的基本定理，可设于是有：用心 爱心 专心即：解得：∴定理 4. O 是三角形 ABC 的重心的充要条件是：。证明：必要性：若 O 是△ABC 的重心，则，由引理 3 得充分性：由得：（其中 F 是 AB 的中点）∴点 O、C、F 共线，即点 O 在中线 CF 上；同理，点 O 在中线 AD、BE 上，∴O 为△ABC 的重心。定理 5. O 是三角形 ABC 的内心的充要条件是：(其中 a、b、c分别是角 A、B、C 的对边)。证明：必要性： O 是三角形 ABC 的内心，由内角平分线定理∴，由引理 3 得：即：...
