正余弦定理学习点拨 正、余弦定理是应用很广泛的定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与代数产生联系，如求与三角形有关的量、判断三角形形状、证明三角形中有关的等式等，并为此提供重要依据．下面我们结合实例谈一谈复习正余弦定理这部分应从哪几方面加强学习．一、重视数学思想方法的运用解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题过程中要注意函数与方程思想的运用．例1 如图 1 所示，隔河看两目标 AB，，但不能到达，在 岸 边 选 取 相 距3 千 米 的 CD，两 点 ， 并 测 得75454530ACBBCDADBADCº，º，º，º（ ABCD， ， ，在同一平面内）．求两目标 AB，之间的距离． 分析：要求出 AB，之间的距离，可以在ACB△或ADB△中去找关系式．但不管在哪个三角形中，除 AB 边是已知外其他两边都是未知的，需要借助其他三角形找出合适的关系式，从而求出另两边的值． 解：在ACD△中，30120ADCACDACBBCD，，30CADADC，3ACCD．在BDC△中，18045(3045 )60CBD ，由正弦定理可得：sin 7562sin 602CDBC·，在ABC△中，由余弦定理得：2222cosABACBCAC BCBCA··，5AB（千米）．故 AB，之间的距离为 5 千米．二、加强知识之间的联系 学习本章知识要与初中学过的三角形的边、角关系联系起来．同时，要注意与三角函数、平面向量等知识联系起来，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力．用心 爱心 专心1例2在ABC△中，已知222222sinsinsin1 cos2sinsinsin1 cos2ABCCABCB．求证：ABC△是等腰三角形或直角三角形．分析：从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定ABC△为等腰或直角三角形两种情况．因此，应综合应用正余定理、三角形内角和定理、勾股定理，先进行化简，再讨论．证明：应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：222222222cos2cosabcCabcB，再由余弦定理将其变形为：222coscos2coscosabCCacBB，整理得： coscos0coscosCbCBcB，由 cos0cosCB ，得90C ，由cos0cosbCcB ，及依据正弦定理得： sincossincosBCCB，即sincossincosBBCC．sin 2sin 2BC．22BC或22180BC ，即 BC或90BC ．综上所述：ABC△是等腰三角形...
