简析直线斜率的解题功效直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值，只要深入研究就会发现：直线斜率数值意义的解题功效是多方面的，如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题，可以大大简化解题速度．1 借助直线的斜率巧解应用题例 1 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m，b m(a＞b)．问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解 建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x＞0)，欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值．由 三 角 函 数 的 定 义 知 ： A 、 B 两 点 坐 标 分 别 为 (acosα ， asinα) 、(bcosα，bsinα)，于是直线 AC 、BC 的斜率分别为：kAC=tanxCA=，．于是 tanACB=由于∠ACB 为锐角，且 x＞0,则 tanACB≤，当且仅当=x，即 x=时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为 C(,0)，因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳．点评 本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值，从而转化为有关斜率的问题．2 借助直线的斜率比较大小例 2 设 M=，则 M 与 N 的大小关系为( )用心 爱心 专心1A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法判断解析 将问题转化为比较 A(－1，－1）与 B(102001，102000）及 C(102002，102001）连线的斜率大小，因为 B、C 两点的直线方程为 y=x，点 A 在直线的下方，∴kAB＞kAC,即 M＞N．答案：A．点评 如果此题按常规方法处理直接作差将会比较难处理，而采用直线斜率的几何意义就直接明了，易处理．3 借助直线的斜率求直线的方程例 3．过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x,y 的正半轴于 A,B 两点，求（1）△ABO 面积的最小值，及相应的直线方程；（2）若︱PA︱·︱PB︱取最小值时，求直线的方程．解析 显然直线效率存在，设直线方程为 y-1=k(x-2)(k<0)，得点 A(), B(0,1-2k)，（1）S...
