一道课本习题的应用严兆永 （南京外国语学校仙林分校 210046） 苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修 5）》第 98 页第 14 题：“…，试研究线段GH，KL，EF，MN 与代数式，，，之间的关系，…”． 能够得到结论：，当且仅当时等号成立． 这是对课本第十三章第四节“基本不等式”的整理和引申，定理本身的证明在此不再重复．笔者结合自己的教学实践，谈谈这道题的结论在求最值和不等式证明中的应用．一、求最大（小）值【例 1】若为正实数，且恒成立，则 的最小值是 ．分析：由题意有恒成立，转化为求的最大值，由基本不等式有，故，所以．评析：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质，方能求得最值得结果．【例 2】若成等差数列，且，则的最大值为 ．略解：， ，由“基本不等式”有：，当且仅当时取等号，故，即的最大值为．评析：倒序相加，由等差数列的性质为基本不等式的运用做好准备．【例 3】已知，，且，则的最小值为 ．错解：，又，得，有，所以的最小值为 8．略解：，当且仅当，即，时取等号．评析：“正数、定值、取等号”这三个条件是基本不等式的前提，尤其是在不止一次使用基本不等式时，更要注意取等号的条件要一致．【例 4】已知，，且，求的最大值．分 析 ： 由为 定 值 的 引 导 ， 可 将 结 论 式改 写 为用心 爱心 专心，便可得到下述解法：略解：，当且仅当即时取得最大值． 若题中关系式不具备基本不等式的结构特征，可考虑将关系式变形，如本题将和经“配凑”后向 2a + b 转化是成功解题的关键，其思维的起点是为定值．二、证明不等式【例 5】已知 a、b、c∈R，求证：．分析：由上题知，即，同理：，，三式相加得证．当且仅当 a = b = c 时等号成立． 评析：不等式两边的结构特征，提示我们选择“”，而该不等式对 a、b∈R就可以了，未必一定要“正数”．【例 6】已知，，求证：．分析：乍一看，要证明这个不等式好象还不太容易，仔细研究便会发现，构成这个不等式的三个部分都出现在“基本不等式”中，它们之间是有联系的．具体表现为：，，于是便不难得到证明了． 评析：本题也可以使和均向“靠拢”，或将理解为，再由“基本不等式”得证，充分体现了对“基本不等式”的理解．【例 7】已知，，且，求证：．证法一：证法二：，用心 爱心 专心当且仅当时等号成立． 评析：证法二之所以采用如此“配凑”，是因为“轮换式”的特征让我们知道“当且...
