指数函数和对数函数典例剖析知识梳理一、指数函数：对三个指数函数的图象特征与函数性质的认识。（1）所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和相交于，当时，的图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有及。（2）与的图象关于 y 轴对称。（3）通过，，三个函数图象，可以画出任意一个函数（）的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而也由关于 y 轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。二、对数函数：1、对三个对数函数的图象的认识：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是与在点（1,0）曲线是交叉的，即当时，的图象在的图象上方；而时，的图象在的图象的下方，故有：；。（2）的图象与的图象关于 x 轴对称。（3）通过，，三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作的图象，它一定位于和两个图象的中间，且过点（1,0），时，在的上方，而位于的下方，时，刚好相反，则对称性，可知的示意图。2、对数常用公式：； ； ；； ； 。典例剖析 题型一 函数的单调性判断例 1、讨论函数的单调性 （1）； （2） 。剖析：（1）易知函数定义域为。令，，则原函数y=f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数，而在时是减函数，，在时是减函数，在时是增函数。又，即 ，则；，得。由下表讨论复合函数的单调性： 函数单调性↘↘↗↘↘↗可见，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。点评：复合函数的单调性的讨论用列表法求解，十分方便且非常有效。（2）剖析：设，则。由，知 当时，u 为减函数；当时,u 为增函数，而为减函数，故在时为增函数，在时为减函数。评注；复合函数单调性的判断一般遵循“同增异减”原则，这是一种简洁有效的方法。题型二 函数值域求法一、配方法 配方法是求二次函数值域的基本方法，形如的函数值域问题，均可使用配方法。例 2、已知，求函数值域。剖析：由， 得 。 又函数 f(x)定义域[1,3]，所以函数定义域为，解得，所以。由二次函数单调性得，，所求函数值域为。点评：配方法是求函数值域的最基本最常用的方法。二、利用函数有界性 形如，等，因为，可求 y 范围，从而求出其值域。例 3、求函数值域.剖析 ：由, 得, , 或 y<-1, 故原函数值域为。点评；由于，也可类似求解。三、利用函数单调性例 4、已知关于 x 的方程有负根。（1）求实数 a 的值的集合 M；（2）若函数的定义域恰为 M，求 f(...
