表面积与体积中的思想方法 数学思想方法是解题的武器，正确运用思想方法可有效的解决数学问题．求解几何体表面积与体积的思想有： 一、整体思想 例 1 长方体的全面积为 11，十二条棱长度之和为 24，求这个长方体的对角线长． 分析：要求长方体对角线长，只需求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可． 解：设此长方体的长、宽、高分别为，对角线长为 l，则由题意得 由，得， 从而由长方体对角线性质得 ， 所以长方体的对角线长为 5． 点评：（1）本题考查了长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力．在求解过程中，并不需要把都求出来，而要由方程组从整体上导出，这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性． （2）本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作整体处理． 二、转化思想 例 2 如图 1，长方体中，，，，并且．求沿着长方体的表面自到的最短路线的长． 分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答． 解：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图 2，三个图形（甲）、（乙）、（丙）中的长分别为：用心 爱心 专心1 ； ； ， 因为，，所以． 故最短线路的长为． 点 评 ： ① 防 止 只 画 出 一 个 图 形 就 下 结 论 ， 或 者 以 为 长 方 体 的 对 角 线是最短路线．②解答多面体表面上两点间最短路线问题，一般的都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长． 例 3 一个正四棱台两底面边长分别为（），侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为（ ）． Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 分析：利用直角梯形，转化成直角三角形，结合面积公式求解． 解：如图 3，设， 分别为棱台上、下底面中心，，分别为、的中点，连结、，则为斜高． 过作于点，则， ，． 由已知得，所以．用心 爱心 专心2 在中，， 所以． 故选 A． 点评：在正四棱台中有两个直角梯形值得注意：一是梯形，一是梯形，它们都可以转化成直角三角形，利用三角形知识求解． 三、函数方程思想 例 4 圆锥的底面半径为 2cm，高为 4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值． 分析：画出轴截面图，在平面中解决...
