不可小视的棱、柱、台三类多面体中四类热点问题棱、柱、台这三类多面体的计算问题多集中于体积、面积与距离的计算.为了便于同学们对这类问题进行归纳总结,在此我们集中了四类热点且具有代表性的问题进行剖析与点评.一、等积变换求距离例 1.证明：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。[解题指导]:把正四面体的体积分割成多个小三棱锥体积的和.分析：如图，设 P 为正四面体 ABCD 内任一点，AO 为正四面体 A的高，点 P 到各面的距离分别为则PB DC即 正四面体各面是全等的正三角形 点评：多面体问题常用技巧有“割”“补”“等积变换”等,利用这些技巧可使问题化繁为易。二、几何体中的截面问题例 2、圆台的内切球半径为 R,且圆台的全面积和球面积之比为,求圆台的上,下底面半径（）.[解题指导]:利用圆台的内切球获得截面图形,从而可得到圆台母线为 与上下底面圆半径的关系.解：如图，设圆台母线为 ， 则，由平面几何知识得， 即 .又用心 爱心 专心1由题意得， 即 代入 得 ，，.点评:(1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线来研究问题，正确作出截面，把复杂问题转化为熟悉的,较常见的问题. (2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用.三、求几何体被分割后的体积比例3.如下图,三棱柱中,若E,F分别为AB、AC的中点,平面将三棱柱分成体积为、的两部分,求:. [解题指导]:对应的几何体是一个棱台,一个底面的面积与棱柱的底面积相等,另一个底面的面积等于棱柱底面积的;对应的是一个不规则的几何体,显然的体积无法直接表示,可以考虑间接的办法,用三棱柱的体积减去来表示. 解：设三棱柱的高为 ,底面的面积为S,体积为 ，则 E、F分别为AB、AC的中点, 故:=7:5.点评:本题求不规则的几何体的体积时,是通过计算棱柱和棱台的体积的差来求得的． 四、相接几何体的体积计算问题例4.已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积． [解题指导]要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考 ,要求内接正四棱柱的体积,只需求出等边圆柱的底面团半径 ,而 根据已知条件可以用S表示． 解：如上图,设等边圆柱的底面半径为 ,则高, ∴∴内接四棱柱的底面边长用心 爱心 专心2 ∴. 点评:本题是正四棱柱与圆柱的相接问题．解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系,如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等 ,正四棱柱的高与...
