高中数学解析几何中有关参数范围问题的求解策略

电话： 0574—86807025（办） 2005.3.15 解析几何中有关参数范围问题的求解策略（浙江省宁波市北仑明港中学 315800） 刘允忠 解析几何中的参数范围问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，因而也是解几中的一个难点问题。这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域或最值等来解决。一、运用数形结合探求参数范围例 1、m 为何值时，直线 y=-x+m 与半椭圆(y≥1)只有一个公共点？分析：因为椭圆(y≥1)为半条曲线，若利用方程观点研究这类问题则需转化成根的分布问题，较麻烦且易出错，若用数形结合的思想来研究直观易解。如图 1，、、是直线系 y=-x+m 中的三条直线，这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”，在与之间的直线（含，不含）及都是与半椭圆只有一个公共点的直线，而 m 是这些直线在 y 轴上的截距，由此可求 m 的范围。简解：过（，1） ∴ ∴ 过（，1） ∴ ∴ (y≥1) 由 得到关于 x 的一元二次方程 利用△=0 得 m=6. 综上所得，521≤m＜521或 m=6。例 2．若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点，其中 A(-2, 3)，B(3,2)，求实数 m 的取值范围。解：如图 2，直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0, -2)，直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段 AB 有交点，则直线只能落在∠ABC 的内部，设 BC、CA 这两条直线的斜率分别为 k1、k2，则由斜率的定义可知，直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k≥k1或 k≤k2， A(-2, 3) B(3, 2) ∴∴-m≥或-m≤ 即 m≤或 m≥。说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB 内部变化时，k 应大于或等于 kBC，或者 k 小于或等于 kAC，当 A、B 两点的坐标变化时，也要能求出 m 的范围。二．构造含参不等式探求参数范围例 3 . (2005 年广州市高考模拟题)已知抛物线的顶点在原点，以双曲线的图 1图 2电话： 0574—86807025（办） 2005.3.15 左准线为准线。（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若直线（）垂直平分抛物线的弦，求实数的取值范围。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于的不等式，通过解不等式求出的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将表示为另一个...