第 1 课时 向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．⑶ 且 的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积⑴ 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ．它的长度与方向规定如下：① | a |＝ ．② 当 ＞0 时， a 的方向与 a 的方向 ； 当 ＜0 时， a 的方向与 a 的方向 ； 当 ＝0 时， a ．⑵ (μ a )＝ ． ( ＋μ) a ＝ ． (a＋b)＝ ．⑶ 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 ．4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1 、2 ，使得 ．⑵ 设1e 、2e 是一组基底，a ＝2111eyex，b＝2212eyex，则a 与b共线的充要条件是 ．例 1．已知△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点．设aAB ，bAC ，求BE．解： BE ＝ AE － AB ＝41 ( AB ＋ AC )－ AB ＝－43a ＋41b变式训练 1.如图所示，D 是△ABC 边 AB 上的中点，则向量 CD 等于（ ）A．－ BC ＋BA21B．－ BC －BA21C． BC －BA21D． BC ＋BA21 典型例题基础过关ADBC解:A例 2. 已知向量2132eea，2132eeb，2192eec，其中1e 、2e 不共线，求实数 、 ，使bac ．解:c＝λa ＋μb 21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e 2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9 λ＝2，且 μ＝－1变式训练 2：已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点，点 P 为平面上任意一点，求证：POPDPCPBPA4证明 PA ＋ PC ＝2 PO ， PB ＋ PD ＝2 PO PA ＋ PB ＋ PC ＋ PD ＝4 PO例 3. 已知 ABCD 是一个梯形，AB、CD 是梯形的两底边，且 AB＝2CD，M、N 分别是 DC 和AB 的中点，若aAB ，bAD ，试用 a 、 b 表示BC 和MN ．解：连 NC，则bADNCbaCNABCNMCMN4141；abNBNCBC21...
