高中数学类比三角公式、寻找解题入口

类比三角公式、寻找解题入口皖无为县襄安中学 李向林 238341“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比往往能指引我们前进。”（康德语）何谓类比，类比的实质就是根据两个对象之间的相似，把信息从一个对象转移给另一个对象，而数学类比着眼于两个数学对象之间在空间形式或数量关系方面结构的相似。同时，系统论告诉我们：任何一个数学问题都是一个有机的系统，这个系统是由其结构决定的，并且它的结构是相互联系的，数学结构决定着数学方法，结构蕴含着方法，结构提示着方法。三角函数公式繁多，结构复杂。因此，我们在解决某些数学问题时，多从其数学结构入手，类比三角公式。对其进行分析、转化、联想、构造，从而找到解决问题的方法。下面举例说明：一、解方程（组）。例 1、求方程 8x(2x2－1)(8x4－8x2+1)=1 在（0、1）内实数根。分析：本题若用一般方法解，显然不可能。仔细观察题目数式结构，2x2-1 x∈(0、1)类似于二倍角公式 2cos2θ－1=cos2θ，从而令x=cosθθ∈(0、π/2)，则 原 方 程 可 化 为 ： 8cosθcos2θcos4θ=1=>sin8θ=sinθ ∴8θ=2kπ+θ, 或 8θ=(2k+1)π-θ (k∈Z)=>θ=(2kπ)/7 或θ=(2k+1)π/9,k∈Z, 又 θ∈(0 、 π/2)∴θ1=(2π)/7 ， θ2=π/9 ， θ3=π/3 故原方程在（0、1）内有三个实根 cos(2π/7), cos(π/9),1/2。例 2、求满足方程组 y=4x3－3x 的实数（x、y、z）z=4y3－3yx=4z3－3z分析：观察式子的结构 4A3－3A(A 为 x、y、z)，类似于三倍角公式:4cos3θ－3cosθ=cos3θ，运用反证法不难证明|x|≤1，|y|≤1,|z|≤1 故可令 x=cosθ,θ∈[0、π]则，y=cos3θ,z=cos9θ,x=cos27θ==>cosθ=cos27θ=>θ=(kπ)/13 (0≤k≤13,k∈Z),或θ=(kπ)/14 (1≤k≤13,k∈Z)∴（x、y、z）=(cos(﹙kπ)/13), cos((3kπ)/13),cos((9kπ)/13)) (0≤k≤13,k∈Z)或1（x、y、z）=(cos((kπ)/14), cos((3kπ)/14),cos((9kπ)/14)) (1≤k≤13,k∈Z)说明：当题目所给的数据结构全部或部分类似于某一三角公式，且变量取值范围与三角函数值域一致时，考虑用三角换元。二、解（证）不等式。例 3、解不等式 √3－x － √x+1﹥1/2（第四届 IMO 试题）分析：观察左端式子，发现(√ 3－x/2)2+( √x+1/2)2=1，类似于 cos2x+sin2x=1，故可设 √x+1=2cosα (α∈[0、π/2]),则 y= √ 3－x － √x+1=2sinα－2cosα= √2 2sin(α－π/4)易知-π/4≤α－π/4≤π/4，要使 y>1/2...