高中数学素材：数列求和问题中的四类错解问题剖析

数列求和问题中的六类错解问题剖析 一．摆正前几项和与通项之间的关系避免错解 [例 1]已知数列 1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大 3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出 1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n 项之和.错因：误把最后一项（含 n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令 n=1,a1=101,显然 3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n－2;(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前 n－1 项的和. 二．由前 n 项和nS 求通项时注意21 nSSannn中并不包括首项1a 。[例 2] 已知数列 na的前 n 项之和为① nnSn22 ② 12nnSn 求数列 na的通项公式。错解： ① 34)1()1(2222nnnnnan ② nnnnnan21)1()1(122错因：在对数列概念的理解上，仅注意了 an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意 a1=S1.正解： ①当1n时，111Sa 当2n时，34)1()1(2222nnnnnan 经检验 1n时 11 a 也适合，34  nan ② 当1n时，311Sa 当2n时，nnnnnan21)1()1(122 ∴ nan23 )2()1(nn 三．正确运用数列前 n 项和的性质解决求和问题[例 3] 已知等差数列 na的前 n 项之和记为 Sn，S10=10 ，S30=70，则 S40等于 。错解：S30= S10·2d.  d＝30，  S40= S30+d =100.错因：将等差数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m成等差数列.正解：由题意：7022930301029101011dada得152,521da代入得 S40 ＝1204023940401da。四．正确运用数列前 n 项和通项公式的关系解决求值问题[例 4]等差数列 na、 nb的前 n 项和为 Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn求77ba ；错解：因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数，故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.1110277417777 ba错因：误认为nnTSnnba正解：79922713411371313777777TSbbaaba。五．正确运用数列前 n 项和的分段形式[例 5]已知一个等差数列 na的通项公式 an=25－5n，求数列||na的前 n 项和；错解：由 an0 得 n5  na前 5 项为非负，从第 6 项起为负， Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当 n6...