高中数学：2.2.3《待定系数法》素材（新人教B版必修1）

52. 待定系数法 作者德化一中 颜墀策 甲 内容提要 1. 多项式恒等的定义：设 f(x)和 g(x)是含相同变量 x 的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说 x 在允许取值的范围内，不论用什么实数值代入左右两边，等式总是成立的. 符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：(x+3)2=x2+6x+9, 5x2－6x+1=(5x－1)(x－1), x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7). 都是恒等式. 根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如： 已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2). 试求：①a+b+c ；②a－b+c. 解：①以 x=1， 代入等式的左右两边，得 a+b+c＝－4； ②以 x=－1，代入等式的左右两边，得 a－b+c＝0. 2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即 如果 a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an＝b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn. 那么 a0=b0 ， a1=b1， …… ， an－1=bn－1 ， an=bn. 上例中又解： ax2+bx+c＝2x2－2x－4. ∴a＝2, b＝－2, c＝－4. ∴a+b+c＝－4， a－b+c＝0. 3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值. 乙 例题 例 1.已知：23)2)(3(22++−+=+−+−xCxBxAxxxxx. 求：A、B、C 的值. 解：去分母，得x2－x+2＝A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3). 根据恒等式定义（选择 x 的适当值，可直接求出 A、B、C 的值）， 令 x＝0，得 2＝－6A. ∴A＝－ 31 ； 令 x＝3，得 8＝15B. ∴B＝158 ； 令 x＝－2，得 8＝10C. ∴C＝ 54 . 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于 x 的二次三项式，然后用恒等式性 质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解. 例 2.把多项式x3－x2+2x+2 表示为关于x－1 的降幂排列形式. 解：用待定系数法： 设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d . 199把右边展开，合并同类项（同类项对齐）， 得， x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a +bx2－2bx+b +cx－c +d . 用恒等式的性质，比较同类项系数， 得 解这个方程组，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−+−=+−−=+−=.2,223,13,1dcbacbabaa⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.4,3,2,1dcba∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4. 本题也可用换元法：设 x－1=y, 那么 x=y+1. 把左边关于 x 的多项式化为关于 y 的多项式，最后再把 y 换成 x －1. 例 3.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1...