导数的背景教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点 极限思想教学过程一、导入新课1. 瞬时速度问题 1：一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中 g 是重力加速度）.当时间增量很小时，从 3 秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒时的速度.从 3 秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量：从而，.从上式可以看出，越小，越接近 29.4 米/秒；当无限趋近于 0 时，无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说，当趋向于 0 时，的极限是 29.4.当趋向于 0 时，平均速度的极限就是小球下降 3 秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是 s＝s（t），则物体在 t 到（t＋）这段时间内的平均速度为. 如果无限趋近于 0 时，无限趋近于某个常数 a，就说当趋向于 0时，的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻 t 的瞬时速度.2. 切线的斜率问题 2：P（1,1）是曲线上的一点，Q 是曲线上点 P 附近的一个点，当点 Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况.析：设点 Q 的横坐标为 1＋，则点 Q 的纵坐标为（1＋）2，点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量（即函数的增量），所以，割线 PQ 的斜率.用心 爱心 专心 115 号编辑由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，变得越来越小，越来越接近 2；当点 Q无限接近于点 P 时，即无限趋近于 0 时，无限趋近于 2. 这表明，割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：.一般地，已知函数的图象是曲线 C，P（），Q（）是曲线 C 上的两点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，割线 PQ 绕着点 P 转动. 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P，即趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线. 此时，割线 PQ 的斜率无限趋近于切线 PT 的斜率 k，也就是说，当趋向于 0 时，割线 PQ 的斜率的极限为 k.3. 边际成本问题 3：设成本为 C，产量为 q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当 q＝50 时 ， 产 量 变 化对 成 本 的 影 响 . 在 本 问 题 中 ， 成 本 的 增...
