高中数学：2.4平面向量的数量积 学案 新人教A版必修4

第 3 课时 平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，过 O 点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a与b的 ．当 θ＝0°时，a与b ；当 θ＝180°时，a与b ；如果a与b的夹角是 90°，我们说a与b垂直，记作 ．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 θ，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为 0．若a＝(x1, y1)，b＝(x2, y2)，则a·b＝ ．3．向量的数量积的几何意义：|b|cosθ 叫做向量b在a方向上的投影 (θ 是向量a与b的夹角)．a·b的几何意义是，数量a·b等于 ．4．向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ 是a与b的夹角．⑴ e · a ＝ a · e ＝ ⑵ a⊥b  ⑶ 当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ．⑷ cosθ＝ ．⑸ |a·b|≤ 5．向量数量积的运算律：⑴ a·b＝ ；⑵ (λa)·b＝ ＝a·(λb)⑶ (a＋b)·c＝ 例 1. 已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为 60°，求：(2a＋3b)·(3a－2b)．解:(2a＋3b)(3a－2b)＝－4变式训练 1.已知|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝5，求|2a－3b|的值．典型例题基础过关解:56例 2. 已知向量 a ＝(sin ，1)， b ＝(1，cos )，－22．(1) 若 a⊥b，求 ；(2) 求|a＋b|的最大值．解：(1)若ba ，则0cossin即1tan 而)2,2(，所以4(2))4sin(223)cos(sin23ba当4 时，ba 的最大值为12 变式训练 2：已知(cos ,sin)a，(cos,sin)b，其中0．(1)求证：ab 与ab互相垂直；(2)若kab与 a kb的长度相等，求 的值(k 为非零的常数)．证明：222222() ()(cossin)(cossin)0ababab ab 与ab互相垂直（2）k a( coscos, sinsin)bkk,a k(coscos,sinsin)bkk,212 cos()k a bkk ,21 2 cos()a kbkk ,而2212 cos()12 cos()kkkk  cos()0 ，2例 3. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点，且满足( OB － OC )·( OB ＋ OC －2 OA )＝0，判断△ABC 是哪类三角形．解:设 BC ...