高中数学：2.6 曲线与方程 素材3 苏教版选修2—1

巧用条件妙求椭圆方程已知曲线轨迹为椭圆求其方程时，常用待定系数法，在许多情况下，若恪守常规，常会导致过程繁琐，运算量增大，但如果对题目条件合理使用，对标准方程进行“改造”，常可避繁就简，事半功倍，现举几例，寻求椭圆方程的巧妙求法．一．改造设法之一：巧设),0,0(122nmnmnymx，避免讨论．例 1．求经过两点)5,3(),25,23(BA 的椭圆标准方程．分析：由条件，不能确定焦点在 x 轴还是 y 轴上，若直接设标准方程，需分两种情况讨论，则解答繁琐；若设方程为),0,0(122nmnmnymx，则包含了上述两种情况，简化了解题过程，有效地避免了讨论．解：设所求椭圆方程为),0,0(122nmnmnymx，将 A、B 两点坐标代入得153142549nmnm，解得61m，101n，故所求椭圆方程为110622 yx． 点评：事实上，122 nymx中，当0 nm时，椭圆焦点在 y 轴上；当0 mn时，椭圆焦点在 x 轴上．二．改造设法之二：利用共焦点椭圆系，巧设椭圆方程．例 2．求经过点(2, 6)M且与椭圆15922 xy有相同焦点的椭圆标准方程．分析：当一组椭圆具有某一相同性质时，我们称之为椭圆系．本题可用共焦点椭圆系方程求解．解：设所求椭圆方程为)5(15922kkxky，将 M 点坐标代入得64195kk，解得3k或7k （舍去），故所求椭圆方程为221128yx．点评：与椭圆12222 nymx有相同焦点的椭圆系方程为222221(xyknmknk 且2)km ．三．改造设法之三：利用共离心率椭圆系，巧设椭圆方程．例 3．求经过点(1,2)M且与椭圆221126xy有相同离心率的椭圆标准方程．用心 爱心 专心分析：离心率2221 ( )cabbeaaa，可由b 与a 的比值确定，故一组椭圆中，无论焦点在 x 轴还是 y 轴上，只要比值22ba 相等，它们的离心率就相同．本题可用共离心率椭圆系方程求解．解：设所求椭圆方程为221126xyk或222126yxk，将 M 点坐标代入得114126k或241126k，解得134k 或212k ，故所求椭圆方程为2231264xy或2211262yx．点评：与椭圆22221(0)xyabab有相同离心率的椭圆系方程为221220xykab(焦点在 x 轴上)或222220yxkab（焦点在 y 轴上）．四．改造求解过程，体会知识灵活运用．例 4．求焦点为)0,3(),0,3(21FF 且过点)1,2(A的椭圆方程．常规解法：设所求椭圆方程为)0(12222baby...