空间直角坐标系的构建策略 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例１ 已知直四棱柱1111ABCDA B C D中，22AA ，底面 ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，ABCD∥，4AB ，2AD ，1DC ，求异面直线1BC 与 DC 所成角的余弦值． 解析：如图１，以Ｄ为坐标原点，分别以 DA 、DC 、1DD 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则1(01 2)(2 4 0)CB，，，，， ， ∴1( 23 2)BC �， ， ，(01 0)CD �， ， ． 设1BC�与CD�所成的角为 ， 则113 17cos17BC CDBC CD ��． 故异面直线1BC 与 DC 所成角的余弦值为3 1717． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例 2 如图 2，在三棱柱111ABCA B C中，AB 侧面11BB C C ，E 为棱1CC 上异于C 、1C 的一点，1EAEB．已知2AB ，12BB ，1BC ，1π3BCC．求二面角11AEBA的平面角的正切值． 解析：如图 2，以Ｂ为原点，分别以1BBBA，所在直线为 y 轴、z 轴，过Ｂ点垂直于平面1AB 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系． 由于112BCBB，，2AB ，1π3BCC， ∴在三棱柱111ABCA B C中，用心 爱心 专心有11313 3(0 0 0)(0 02)(0 2 0)002222BABCC，，，，，，，，，，， ，，，。 设302Ea， ，且1322a， 由1EAEB，得10EA EB �， 即3322022aa ， ，，，233(2)2044a aaa ，∴13022aa ， 即12a 或32a （舍去）．故3 1 022E ，，． 由已知有1EAEB�，111B AEB�，故二面角11AEBA的平面角 的大小为向量11B A�与 EA�的夹角． 因11(0 02)B ABA�，，，31222EA �，，， 故11112cos3EA B AEA B A ��，即2tan2 ． 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例 3 如图 3，在四棱锥VABCD中...
