高中数学：7.3《圆与方程中的数学思想》素材湘教版必修3

圆与方程中的数学思想广东省陆丰市启恩中学(516500)林敏燕圆与方程是高中数学解析几何的一个基础内容，在历年的高考中占有一席之地。本文就圆与方程中的数学思想在解题中的运用展开讨论，供同学们参考。1．函数与方程思想函数与方程思想在圆与方程中应用最广泛,求圆的方程，求直线与圆的交点，求圆与圆的交点等等都要运用到函数与方程的数学思想.[来源:Zxxk.Com]例 1 设圆满足：①截 y 轴所得弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3：1．在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线 1：x－2y=0 的距离最小的圆 的方程．[来源:Zxxk.Com]分析：本题给出了二个条件，我们需要把二个条件转化为代数式，然后联立方程。[来源:学,科,网 Z,X,X,K]解:设圆的圆心坐标为 P（a，b），半径为 r，则点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧的圆心角为 90°，于是圆 P 截 x 轴所得的弦长为r2 ，故222br又圆 P截 y 轴所得的弦长为 2，所以有[来源:学科网]122ar从而得1222 ab．点 P（a，b）到直线 x－2y=0 的距离为5|2|bad．所以，abbabad44|2|5222212)(24222222abbaba，当且仅当 a=b 时上式取等号，此时152 d，从而 d 取得最小值．由此有1222abba．解此方程组得11ba或11ba．由222br知22 r，故所求圆的方程是2)1()1(22yx，或2)1()1(22yx．点评:本题是一道较为复杂的综合题,既要用到函数的最值求法,又要解方程组.一般情况下同学们对于复杂的方程组缺乏信心,因些解方程组时一定要先找好突破口,以免花费太多时间.2．对称思想圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称的数学思想在圆中有着淋漓尽致的体现.解对称问题要把握对称的实质,结合几何图形来解题.例 2 已知( , )P t t ，t R ，点 M 是圆221(1)4xy上的动点，点 N 是圆221(2)4xy上的动点，则||||PNPM的最大值是（ ）A．51B．5C．1D． 2分析：如果把 M，N 看成圆上的动点，设出坐标，则本题变得特别复杂。所以，我们要考虑圆的对称性，把点到圆上的点的距离转化为点到圆心的距离来求解，减少未知量解:由几何知识可知（三角形的性质）,|PN|,|PM|要取到最值,必过圆心.不妨设两圆的圆心分别为 A,B,因此,原题转化为在直线 yx 上找一个点 P,使||||PAPB最大.由例 1 可知,只需作点 B...