高中数学：第3章《有理指数幂及其运算》素材（新人教B必修1）VIP专享

指数解题四误区同学们在学习指数函数问题时，经常因为概念不清，认识不足出现错解．下面为同学们总结归纳，引以为戒．一、对指数 函数的概念的理解不够例 1 下列函数一定是指数函数的是（ ）． (01)aAyxaa且 2(2 || 2) xByaaxCya () xDyab 错解：A、C、D辨析：A 错在 x 应为指数而不 是底数；C、D 中都忽略了底数的范围，按定义底数必须01aa且。故 C、D 错误，只有 B 才是正确的因为222 || 2(|| 1)12aaa   满足底数的取值范围。 二、混淆指数幂与指数函数概念例 2 若0m  ，且2335mm，求m 的取值范围。错解 ∵0m  ，2335mm且 2335，∴由指数函数xym的单调性得1m  。辨析在有意义的情况下，指数的底数可以取全体实数，错解中用指数函数的底数大于 零且不等于 1 限制指数的底数，显然是错误的．正解 当0m 时，230m ，350m ，∴2335mm成立；当01m 时，2335mm；当1m  时，2335mm成立。∴m 的取值范围是0m 或1m  。三、忽略指数函数底数的范围例 3 求函数2 42(01)xxyaaa且的单调递增区间。 错解：令242(2)6txxx 设任意122xx 则 2211224242xxxx  22124242xxxxaa 即 12()()f xf x 故 2 42(01)xxyaaa且在(, 2]  上为增函数。 辨析：对于指数函数单调性的讨论，必须分底数大于 1 和底数大于 0 且小于 1，两种情况来讨论。 正解：令242(2)6txxx当 1a  时，对任意122xx 则 2211224242xxxx  得22124242xxxxaa即 12()()f xf x．又易知 2 42(1)xxyaa在(, 2]  上为增函数同理，当01a 时，同理函数在( 2,) 上是增函数。四、忽略新元的取值范围例 4 求函数24221xxyaa的值域．错解：令2xt ， 则22221()1ytatata 1≥ ，故该函数的值域为［1，＋∞）．辨析：换元后未挖掘新元 t 的取值范围导致错解，同时也未根据 a 来分类讨论．正解：令2xt，t∈（0，＋∞），则22221()1ytatata  （t＞0），结合二次函数的性质可知：当 a≥0 时，值域为（21a ，＋∞）；当 a＜0 时，值域为［1，＋∞）．