微专题4 三角形中的“特征”线

微专题 4 三角形中的“特征”线高考定位 与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中档或偏下.【真题体验】(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC面积为，D 为 BC 的中点，且 AD＝1.(1)若∠ADC＝，求 tan B；(2)若 b2＋c2＝8，求 b，c.解 (1)因为 D 为 BC 的中点，所以 S△ABC＝2S△ADC＝2··AD·DCsin∠ADC＝2××1·DC·＝，解得 DC＝2，所以 BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.在△ABD 中，由余弦定理，得 c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以 c＝.法一 在△ADC 中，由余弦定理，得 b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以 b＝.在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B＝＝＝，所以 sin B＝＝，所以 tan B＝＝.法二 在△ABD 中，由正弦定理，得＝，所以 sin B＝＝，又 B∈，所以 cos B＝＝，所以 tan B＝＝.(2)法一 因为 D 为 BC 的中点，所以 BD＝DC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以 cos∠ADB＝－cos∠ADC，则在△ABD 与△ADC 中，由余弦定理，得＝－，得 1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以 2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以 BD＝，所以 a＝2.又 S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝，得 sin∠ADC＝1，所以∠ADC＝，所以 b＝c＝＝2.法二 因为 D 为 BC 的中点，所以 BC＝2BD.在△ABD 与△ABC 中，由余弦定理，得 cos B＝＝，整理，得 2BD2＝b2＋c2－2＝6，得 BD＝，所以 a＝2.以下同法一.【热点突破】热点一 三角形的角平分线例 1 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 2cos C·sin＋cos A＝0.(1)求角 C 的大小；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于点 D，且 CD＝2，BD＝2AD，求△ABC 的面积.解 (1)由已知可得 2cos C·－cos(B＋C)＝0，sin Bcos C＋cos Bcos C－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝0，整理得，sin B(cos C＋sin C)＝0，因为 B∈(0，π)，所以 sin B≠0，所以 cos C＋sin C＝0，即 tan C＝－，因为 C∈(0，π)，所以 C＝.(2)由题意得，＝＝，即＝，所以 a＝2b.因为 S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，所以×2bsin 60°＋×2asin 60°＝absin 120°，所以 b＋a＝ab.因为 a＝2b，所以 b＝3，a＝6，所以 S△ABC＝absin 120°＝.规律方法 与三角形角平...