第二节 与圆有关的位置关系考点一 切线的判定与性质命题角度 切线的性质❶例 1(2018· 安徽 ) 如图，菱形 ABOC 的边 AB ，AC 分别与⊙ O 相切于点 D ， E ，若点 D 是 AB 的中点，则∠ DOE ＝ °.【分析】 连接 OA ，根据菱形的性质得到△ AOB 是等边三角形，从而求出∠ B ，∠ BAC ，再根据切线的性质求出∠ DOE.【自主解答】如解图，连接 OA ， AB 与⊙ O 相切于点 D ，∴ OD⊥AB ， 点 D 是 AB 的中点，∴ OA ＝ BO ，∴AB ＝ BO ＝ AO ，∴△ABO 是等边三角形，∴∠B ＝ 60° ，∴∠BAC ＝ 120° ， AC 与⊙ O 相切点于 E ，∴ OE⊥AC ，∴∠DOE ＝ 360° － 90° － 90° － 120° ＝ 60°. 1 ． (2017· 自贡 ) 如图， AB 是⊙ O 的直径， PA 切⊙ O 于点A ， PO交⊙ O 于点 C ，连接 BC. 若∠ P ＝ 40° ，则∠ B 等于( )A ． 20° B ． 25°C ． 30° D ． 40°B2 ． (2017· 宿迁 ) 如图， AB 与⊙ O 相切于点 B ， BC 为⊙ O 的弦， OC⊥OA ， OA 与 BC 相交于点 P.(1) 求证： AP ＝ AB ；(2) 若 OB ＝ 4 ， AB ＝ 3 ，求线段 BP 的长．(1) 证明： OC ＝ OB ，∴∠OCB ＝∠ OBC. AB 是⊙ O 的切线，∴OB⊥AB ，∴∠OBA ＝ 90°.∴∠ABP ＋∠ OBC ＝ 90° ， OC⊥AO ，∴∠AOC ＝ 90° ，∴∠OCB ＋∠ CPO ＝ 90°. ∠APB ＝∠ CPO ，∴∠APB ＝∠ ABP ，∴AP ＝ AB.(2) 解：如图，过点 O 作 OH⊥BC 于点 H.在 Rt△OAB 中， OB ＝ 4 ， AB ＝ 3 ，∴OA ＝＝ 5. AP ＝ AB ＝ 3 ，∴ PO ＝ 2.在 Rt△POC 中， PC ＝ ·PC·OH ＝ ·OC·OP ，22341212 命题角度❷切线的判定例 2(2018· 聊城 ) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90° ， BE 平分∠ ABC 交 AC 于点 E ，作 ED⊥EB 交 AB 于点 D ，⊙ O 是△ BED 的外接圆．求证： AC 是⊙ O 的切线．【分析】 要证切线，先连接圆心与切点，证明所证切线与这条半径垂直即可．【自主解答】证明：如解图，连接 OE ， OB ＝ OE ，∴∠ OBE ＝∠ OEB. BE 平分∠ ABC ，∴∠ OBE ＝∠ EBC.∴∠OEB ＝∠ EBC. ∴OE∥BC.又 ∠ C ＝ 90° ，∴∠OEA ＝ 90° ，即 AC⊥OE.又 OE ...
