第七节 二次函数的综合应用考点一 线段、周长问题例 1 (2017· 东营中考 ) 如图，直线 y ＝－x ＋ 分别与x 轴、 y 轴交于 B ， C 两点，点 A 在 x 轴上，∠ ACB ＝ 90° ，抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ 经过 A ， B 两点．3333(1) 求 A ， B 两点的坐标；(2) 求抛物线的解析式；(3) 点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MH⊥BC于点 H ，作 MD∥y 轴交 BC 于点 D ，求△ DMH 周长的最大值．【分析】 (1) 由直线解析式可求得 B ， C 坐标，再利用相似三角形可求得 OA ，从而可求出 A 点坐标；(2) 利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3) 根据题意可推出当 MD 取得最大值时，△ DMH 的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值．【自主解答】 (1) 直线 y ＝－x ＋ 分别与 x 轴、 y 轴交于 B ， C 两点，∴ 点 B 的坐标为 (3 ， 0) ，点 C 的坐标为 (0 ，) ． ∠ACO ＋∠ BCO ＝ 90° ，∠ ACO ＋∠ CAO ＝ 90° ，∴∠CAO ＝∠ BCO. ∠AOC ＝∠ COB ＝ 90° ，∴△ AOC∽△COB ，∴ 点 A 的坐标为 ( － 1 ， 0) ． 3333(2) 抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ 经过 A ， B 两点，∴∴ 抛物线的解析式为 y ＝3(3) 由题意知，△ DMH 为直角三角形，且∠ M ＝ 30° ，当 MD 取得最大值时，△ DMH 的周长最大．∴△DMH 周长的最大值为 1 ． (2017· 东营冲刺卷 ) 如图所示，二次函数的图象经过点D(0 ，) ，且顶点 C 的横坐标为 4 ，该图象在 x 轴上截得线段 AB 长为 6.(1) 利用二次函数的对称性直接写出点 A ， B 的坐标．(2) 求二次函数的解析式．(3) 在该抛物线的对称轴上找一点 P ，使 PA ＋ PD 最小，求出点P 的坐标．7 39(4) 在抛物线上是否存在点 Q ，使△ QAB 与△ ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．1 ．解： (1)A(1 ， 0) ， B(7 ， 0) ．(2) 设二次函数的解析式为 y ＝ a(x － 1)(x － 7) ． 过点 (0 ， ) ，∴代入得 7a ＝ .解得 a ＝ ，∴ 二次函数的解析式为 y ＝ (x － 1)(x － 7) ．7 397 393939(3) 点 A ， B 关于直线 x ＝ 4 对称，∴ PA ＝ PB ， PA ＋ PD＝ PB ＋ PD≥DB ，∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P.如图，...
