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第1页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共8页2012年高三诊断考试数学（文科）参考答案和评分参考一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）D（7）D（8）C（9）C（10）B（11）B（12）A二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）（13）（14）（15）（16）三、解答题(6小题，共70分)（17）解：（Ⅰ）设该数列的公差为∵∴……………………4分∴……………………5分（Ⅱ）∴当时，取得最小值……………………10分（18）解：（Ⅰ）∵∴∴……………………6分（Ⅱ）∵，且第2页共8页第1页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共8页∴解得：，所以故……………………12分解法二：因为，且由余弦定理，得：解得：，所以∴∴……………………12分（19）解：设甲获奖为事件，乙获奖为事件，丙获奖为事件，丙获奖的概率为，则即解得………3分（Ⅰ）三人中恰有一人获奖的概率：………6分（Ⅱ）三人中至少有2人获奖的概率为：第3页共8页第2页共8页DABCA1B1C1EF编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共8页………12分（20）解法一：(Ⅰ)证明：∵为的中点为正三角形∴∴平面而平面∴平面平面………………6分(Ⅱ)∵∥∴∴点为的中点∵∴平面………………7分过点做，垂足为，连接则，所以为二面角的一个平面角………………9分∵∴第4页共8页第3页共8页DABCA1B1C1Exyz编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共8页设，则∴………………12分解法二：依题意有，，两两垂直且相交于点，故建立如图所示的空间直角坐标系，设则：，，，（Ⅰ）∵，∴，∴∴∴平面而平面∴平面平面………………6分第5页共8页第4页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共8页(Ⅱ)∵∥∴∴点为的中点∴∵∴平面∴为平面的一个法向量设为平面的一个法向量，则有，即令则，∴∴而∴∴二面角的正切值………………12分（21）解：（Ⅰ）因，故，依题意有解得………3分所以，第6页共8页第5页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第6页共8页∵由得或，由得∴所以函数在与上单调递增，在上单调递减……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数当时取得极大值，当时取得极小值所以当方程有三个不相等的实根时，………8分∵∴当时，，解得，与矛盾；当时，，解得，与矛盾；当时解得………11分∴………12分（22）解：（Ⅰ）由条件可得，所以点轨迹为以直线为准线，为焦点的抛物线，所以点的轨迹方程为…………………4分第7页共8页第6页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第7页共8页（Ⅱ）设，，的中点为，，直线的方程为由，得∴……………6分所以，从而∵为正三角形，∴且……………8分由，得，所以由，得即，∵∴，从而……………10分∵∴第8页共8页第7页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第8页共8页∴的取值范围．……………………12分