Pythagoras完全比例的推广研究VIP免费

第1页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共4页Pythagoras完全比例的推广研究（110001中国医科大学数学教研室李明362000福建省泉州市现代中学富明远）摘要：运用类比思想试着将Pythagoras完全比例从2元推广至一般的元()，提出了“元平均完全比例”的概念，并运用归纳法对“元平均完全比例”成立的充要条件进行了研究.最后，定义了更一般的“元次幂平均完全比例”，并指出它成立的条件和“元平均完全比例”成立的条件一致.关键词：完全比例推广元平均充要条件幂平均Abstract:TrytoextendthePythagorasperfectproportionfrom2variablestothegeneraln()variablesbyanalogy,andraisetheconcept“n-variablemeanperfectproportion”,thenreaserhthesufficientandnecessaryconditionfortheholdingofthe“n-variablemeanperfectproportion”.Finally,defineamuchmoregeneralconcept“n-variableand-powermeanperfectproportion”,andindicatethattheconditionmakingitholdisjustthatmakingthe“n-variablemeanperfectproportion”hold.Keywords:perfectproportiongeneralizationn-variablemeansufficientandnecessaryconditionpowermean一、问题的提出若为两正数，其算术平均，几何平均，调和平均，则这三个2元平均恒满足,该式被Pythagoras学派称为完全比例【1】.一般地，若为()个正数，其算术平均，几何平均，调和平均，我们称为由生成的“元平均完全比例”.作为Pythagoras完全比例的推广，时它恒成立；而时，它成立的充要条件是什么呢？下文将给出此问题的部分答案.二、“3元和4元平均完全比例”成立的充要条件定理我们研究发现“3元平均完全比例”成立的充要条件可归结为如下的定理：定理1：由三个正数生成的“3元平均完全比例”成立，当且仅当能够按照某个顺序排成等比数列.证明：第2页共4页第1页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共4页能够按照某个顺序排成等比数列.类似地，我们也得到了“4元平均完全比例”成立的充要条件，归结为如下的定理：定理2：由四个正数生成的“4元平均完全比例”成立，当且仅当中有两个数的乘积等于另两个数的乘积.证明：中有两个数的乘积等于另两个数的乘积.三、“（）元平均完全比例”成立的充分条件证明及必要条件探究由定理1和定理2，通过类比和归纳，我们给出如下猜测：猜测1：由（）个正数生成的“元平均完全比例”成立，当且仅当单调重排后，所有对称项之积均相等.第3页共4页第2页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共4页下面来证明猜测1给出的条件是“元平均完全比例”成立的充分条件.证明：设是的单调重排.（1）当为偶数时，由于，于是，又，于是，即成立.（2）当为奇数时，由于.于是，又，于是，即成立.综合（1）、（2），我们便证实了“（）元平均完全比例”成立的充分条件.至于该充分条件是否为“（）元平均完全比例”成立的必要条件，还有待进一步研究.四、“元次幂平均完全比例”成立的充要条件探究事实上，对于个正数的算术平均、几何平均和调和平均，我们有一个统一且更加广泛的平均概念，即“元次幂平均”【2】，记为：显然，Pythagoras完全比例就是，而“元平均完全比例”就是，于是我们可以定义更一般的“元次幂平均完全比例”为：若为()个正数，则我们称为由()个正数生成的“元次幂平均完全比例”.这个更一般的完全比例成立的充要条件如何第4页共4页第3页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共4页呢？实际上，稍加推理就会发现其成立的充要条件与“元平均完全比例”成立的充要条件是一致的，即：（1）时，“2元次幂平均完全比例”恒成立.（2）时，“3元次幂平均完全比例”成立，当且仅当生成此完全比例的三个正数能够按照某个顺序排成等比数列.（3）时，“4元次幂平均完全比例”成立，当且仅当生成此完全比例的四个正数中有两个数的乘积等于另两个数的乘积.（4）时，“元次幂平均完全比例”成立的充分条件是：生成此完全比例的个正数单调重排后，对称项之积相等.至于此充分条...