含绝对值竞赛题的求解策略VIP免费

第1页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共8页含绝对值竞赛题的求解策略浙江上虞春晖中学王启东（312353）有关含绝对值的试题，尤其是绝对值与不等式的综合试题在各级各类数学竞赛中频频出现，本文就此介绍一些常见的求解策略。1、凑配的策略该策略是根据题设条件或结论进行凑配，如：分组、添项、裂项等方法，以达到解决问题的目的。例1、函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)，且对任意不同的x1,x2∈[0,1]，都有|f(x1)−f(x2)|<|x1−x2|，求证：|f(x2)−f(x1)|<12（1983年全国联赛试题）解： f(x)在[0,1]上连续，∴f(x)在[0,1]上有最大值和最小值。不妨设最大值M=f(t1),最小值m=f(t2),t1,t2∈[0,1]（1）当|t1−t2|≤12时，|f(x2)−f(x1)|≤|f(t1)−f(t2)|<|t1−t2|即：|f(x2)−f(x1)|<12（2）当|t1−t2|>12时，设t112|f(x2)−f(x1)|≤|f(t1)−f(t2)|=|f(t1)−f(0)+f(1)−f(t2)|¿|f(t1)−f(0)|+|f(1)−f(t2)|¿|t1−0|+|1−t2|第2页共8页第1页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共8页=1−(t2−t1)<12若t21无解，求证：|b|≤1（第15届全苏数学奥林匹克试题）证：取x=0,π,π3,2π3分别代入acosx+bcos3x≤1得：a+b≤1,−a−b≤1,a2−b≤1,−a2+b≤1∴−1≤a+b≤1且−1≤a2−b≤1即−2≤a−2b≤2∴−3≤3b≤3即：−1≤b≤1∴|b|≤1例4．设f(x)和g(x)是定义在[0，1]上的函数，求证：存在x0，y0，使0≤x0≤1，0≤y0≤1，且|x0y0−f(x0)−g(y0)|≥14。（第20届美国数学竞赛）证明：如果对一切x0，y0∈[0，1]，|x0y0−f(x0)−g(y0)|≥14不成立，考虑在端点的特殊值得：1=|[1×1−f(1)−g(1)]−[1×0−f(1)−g(0)]−[0×1−f(0)−g(1)]+[0×0−f(0)−g(0)]|=|1×1−f(1)−g(1)|+|1×0−f(1)−g(0)|+|0×1−f(0)−g(0)|+|0×0−f(0)−g(0)|〈14+14+14+14=1矛盾。即假设不成立。第4页共8页第3页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共8页∴原命题成立。4．三角换元的策略例5．已知a1,a2R,z∈1,z2是复数，求证：2|a1z1+a2z2|2≤(a12+a22)(|z1|2+|z2|2+|z12+z22|2)（1989《中学生数理化》征解题）证：设a12+a22=R2，并设a1=Rcosθ,a2=Rsinθ则原不等式等价为：2|cosθ⋅z1+sinθ⋅z2|2=2(cosθ⋅z1+sinθ⋅z2)(cosθ⋅z1+sinθ⋅z2)=2|z1|2cos2θ+2|z2|2sin2θ+(z1⋅z2+z2⋅z1)sin2θ∴上述不等式化为：|z1|2(2cos2θ−1)+|z2|2(2sin2θ−1)+(z1⋅z2+z2⋅z1)sin2θ≤|z12+z22|即(|z1|2−|z2|2)cosθ+(z1z2+z2z1)sin2θ≤|z12+z22|而左边¿√(|z1|2−|z2|2)2+(z1z2+z2z1)2=√|z1|4+|z2|4+z12z22+z22z12=√z12z12+z22z2+z12z22+z22z12=√(z12+z22)(z12+z22)=√|z12+z22|2=|z12+z22|=右边∴原不等式成立。5、反证的策略正难则反，反证法是解决数学问题的常用策略，也是处理绝对值的强有力工具。例6已知a,b,c均为实数，且a>100,证明最多有二个整数x,使第5页共8页第4页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共8页|ax2+bx+c|≤50...