第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.(2017北京西城一模)函数f(x)定义在(-∞,+∞)上,则“曲线y=f(x)过原点”是“f(x)为奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2017北京东城二模)下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是()A.f(x)=sinxB.f(x)=|x+1|C.f(x)=-xD.f(x)=cosx3.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f的值为()A.B.C.-D.-4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是()A.B.∪C.D.5.(2016北京丰台期末)已知下列函数:①f(x)=x3-x;②f(x)=cos2x;③f(x)=ln(1-x)-ln(1+x),其中奇函数有个.6.已知函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))=.7.设f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=.(1)求当x<0时,f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)<-.8.(2016北京东城期中)已知函数f(x)=为奇函数,a,b∈R.(1)求a-b的值;(2)若f(x)在区间[-1,m-2]上单调递增,求实数m的取值范围.B组提升题组9.(2016北京东城期末)给出下列函数:①y=log2x;②y=x2;③y=2|x|;④y=.其中图象关于y轴对称的是()A.①②B.②③C.①③D.②④10.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数11.设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A.B.∪(1,+∞)C.D.∪12.(2015北京通州模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2.若对任意x∈[k,k+2],不等式f(x+k)≤f(3x)恒成立,则g(k)=log2|k|的最小值是()A.2B.C.-D.-213.设f(x)是定义在R上的函数,若y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=-1,则f,f,f的大小关系是()A.f>f>fB.f>f>fC.f>f>fD.f>f>f14.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求在[0,2014]上使f(x)=-的所有x的个数.答案精解精析A组基础题组1.B2.C3.A∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f((x+1)+1)=f(x),即函数f(x)的周期为2,∴f=f=f=2××=.4.C∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-)=f(),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f().故有2|a-1|<,即|a-1|<,解得
0,此时f(x)=-f(-x)=-=.(2)f(x)<-,当x>0时,<-,所以<-,所以>,所以3x-1<8,解得x<2,所以x∈(0,2);当x<0时,<-,所以>-,所以3-x>32,所以x<-2,所以原不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2).8.解析(1)令x<0,则-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x,所以a=1,b=2.所以a-b=-1.(2)由(1)可得f(x)=故f(x)在区间[-1,1]上单调递增.若f(x)在区间[-1,m-2]上单调递增,则应有[-1,m-2]⊆[-1,1],所以解得10时,f(x)=ln(1+x)-,∴f'(x)=+>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得f>f.14.解析(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数.(2)当0≤x≤1时,f(x)=x,设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=(-x)=-x.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x,即f(x)=x.故f(x)=x(-1≤x≤1).另设1
