第四节数列求和A组基础题组1.数列{an},{bn}(n∈N*)都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则{an+bn}的前20项的和为()A.600B.610C.620D.6302.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3×,则其前20项和为()A.380-×B.400-×C.420-×D.440-×3.数列{an}的通项公式为an=ncos,其前n项和为Sn,则S2016等于()A.1008B.2016C.504D.04.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2016的值为()A.B.C.D.5.已知数列{an}中,an=-4n+5.等比数列{bn}中,公比q满足q=an-an-1(n≥2)且b1=a2,则|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=()A.1-4nB.4n-1C.D.6.(2018北京朝阳高三期中,15)已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈Ν*),且满足Sn=2an-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=loan,求数列{bn}的前n项和Tn.B组提升题组7.已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于()A.5B.6C.7D.168.已知数列{an},{bn}满足a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i+j=k+l时,都有ai+bj=ak+bl,则[(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+…+(a2017+b2017)]的值为()A.2016B.2017C.2018D.20199.已知数列{}的前n项和Sn=n2,则数列的前n项和Tn=.10.已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2016项的和等于.11.在数列{an}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则{an}的前n项和Sn=.12.在数列{an}中,a2=4,a3=15,若Sn为{an}的前n项和,且数列{an+n}是等比数列,则Sn=.13.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.14.(2017北京朝阳期中)已知数列{an}(n∈N*)是公差不为0的等差数列,a1=1,且,,成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<1.答案精解精析A组基础题组1.A由题意知{an+bn}也为等差数列,所以{an+bn}的前20项和为S20===600.2.C由an=2n-3,得其前20项和S20=2(1+2+…+20)-3=2×-3×=420-.3.A易知a1=cos=0,a2=2cosπ=-2,a3=0,a4=4,…….所以数列{an}的所有奇数项为0,前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为-2,4,-6,8,…,-2014,2016.故S2016=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2014+2016)=1008.4.D因为f'(x)=2x+b,所以f'(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以==-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.5.B由已知得b1=a2=-3,q=-4,∴bn=(-3)×(-4)n-1,∴|bn|=3×4n-1,即{|bn|}是以3为首项,4为公比的等比数列.∴|b1|+|b2|+…+|bn|==4n-1.6.解析(1)当n=1时,a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,故an=2n-1,n∈N*.(2)由已知得bn=loan=lo2n-1=1-n,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=.B组提升题组7.C根据题意,这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,易得从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.故选C.8.D由题意易知a1+b2=a2+b1,∴b2=2+2-1=3,又b1+a3=a2+b2,∴a3=2+3-2=3,又a3+b2=a2+b3,∴b3=3+3-2=4.同理可得a4=4,b4=5,……,a2017=2017,b2017=2018,所以[(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+…+(a2017+b2017)]=[(1+2018)×2017]=2019.9.答案解析由题意得==∴=2n-1.∴==,∴Tn===.10.答案1512解析因为a1=,又an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,……,即得an=故数列的前2016项的和S2016=1008×=1512.11.答案n(n+1)解析依题意得an+1=an+a1,即有an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,an=2+2(n-1)=2n,Sn==n(n+1).12.答案3n--1解析∵{an+n}是等比数列,∴数列{an+n}的公比q====3,则{an+n}的通项为an+n=(a2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1,则an=2·3n-1-n,∴Sn=-=3n--1.13.答案-解析由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1知Sn≠0,则有-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1+(n-1)×(-1)=-n,所以Sn=-.14.解析(1)设{an}的公差为d.因为,,成等比数列,所以=·,即=·,化简得(a1+3d)2=(a1+d)·(a1+7d),又a1=1,且d≠0,解得d=1.所以an=a1+(n-1)d=n.(2)证明:由(1)得:==-,所以Tn=1-+-+…+-=1-<1,因此,Tn<1.
