第四节导数的综合应用A组基础题组1.设函数f(x)在R上存在导数f'(x),x∈R,∀有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f'(x)
0),为使耗电量最小,则速度应定为.4.(2015北京,19,13分)设函数f(x)=-klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.5.已知函数f(x)=alnx+-(a+1)x.(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=-1时,证明f(x)≥.B组提升题组6.已知函数f(x)=xex-aex-1,且f'(1)=e.(1)求a的值及f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程f(x)=kx2-2(k>2)存在两个不相等的正实数根x1,x2,证明:|x1-x2|>ln.7.(2017北京朝阳二模,19)已知函数f(x)=ex+x2-x,g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.(1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c),求a,b,c的值;(3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.答案精解精析A组基础题组1.B令g(x)=f(x)-x2(x∈R), g(-x)+g(x)=f(-x)-x2+f(x)-x2=0,∴函数g(x)为奇函数. x∈(0,+∞)时,g'(x)=f'(x)-x<0,故函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,可知g(x)在R上是减函数,∴f(4-m)-f(m)=g(4-m)+(4-m)2-g(m)-m2=g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),∴4-m≤m,解得m≥2,故选B.2.Af'(x)=-k=(x>0).设g(x)=,则g'(x)=,则g(x)在(0,1)内单调减,在(1,+∞)内单调增.∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=与y=k的图象可知,要满足题意,只需k≤e,选A.3.答案40解析易知y'=x2-39x-40.令y'=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,当040时,y'>0,所以当x=40时,y有最小值.4.解析(1)由f(x)=-klnx(k>0)得f'(x)=x-=.由f'(x)=0解得x=.f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下表:x(0,)(,+∞)f'(x)-0+f(x)↘↗所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞);f(x)在x=处取得极小值f()=.(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e.当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且f(1)=>0,f()=<0,所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.5.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=+x-(a+1)==.(1)①当00,得x>1或00,所以f'(x)≥0恒成立.所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞).③当a>1时,令f'(x)>0,得x>a或02,得ln2k>ln4>1.又因为g(1)=-k+2<0,所以g(ln2k)<0.不妨设x10,g(1)=-k+2<0,所以0ln2k>ln4,所以|x1-x2|=x2-x1>ln4-1=ln,即|x1-x2|>ln.7.解析(1)...
