第三节二项式定理A组基础题组1.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.102.的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中常数项是()A.180B.90C.45D.3603.在的展开式中,如果x3的系数为20,那么ab3=()A.20B.15C.10D.54.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为()A.1或3B.-3C.1D.1或-35.在(x+a)5(其中a≠0)的展开式中,x2的系数与x3的系数相同,则a的值为()A.-2B.-1C.1D.26.(1+)6的展开式中的常数项为.7.(2017北京海淀期末,10)的展开式中常数项是.(用数字作答)8.(2017北京顺义二模,10)在的展开式中,x7的系数为.(用数字作答)9.已知(a2+1)n的展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求a的值.10.已知函数f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥3).(1)求展开式中x2的系数;(2)求展开式中各项的系数之和.B组提升题组11.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5=()A.32B.-1C.10D.112.(2017北京西城一模,9)在(1+2x)5的展开式中,含x2项的系数为.(用数字作答)13.的展开式中含x-3项的系数是.14.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=.15.在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和.16.已知二项式.(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.答案精解精析A组基础题组1.C在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.2.A由二项展开式系数的性质,得n=10,∴Tr+1=·()10-r=2r·,令5-r=0,则r=2,从而展开式的常数项是T3=4=180.3.D展开式的通项为Tr+1=a4-rbrx24-7r,令24-7r=3,得r=3,则ab3=20,∴ab3=5.4.D令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴1+m=±2,∴m=1或m=-3.5.C(x+a)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r·ar=arx5-r,∵x2的系数与x3的系数相同,∴a3=a2,解得a=1或a=0(舍),故选C.6.答案4246解析分别求两个因式的通项:Tr+1=,Tr'+1=,由·=,令-=0,又0≤r≤6,0≤r'≤10,且r,r'为整数,解得r=r'=0,或r=3且r'=4,或r=6且r'=8.∴常数项为1++=4246.7.答案15解析展开式的通项为Tr+1=(x2)6-r·=x12-3r,令12-3r=0,得r=4,故常数项是=15.8.答案7解析由题意可得Tr+1=(x2)8-r·=x16-3r,令16-3r=7,得r=3,∴x7的系数为×=7.9.解析的展开式的通项为Tr+1==··,令=0,得r=4,所以常数项为T5=×=16.又(a2+1)n的展开式中的各项系数之和等于2n,所以2n=16,n=4,所以(a2+1)4的展开式中系数最大的项是T3=a4=54,所以a=±.10.解析(1)展开式中x2的系数为+++…+=+++…+=++…+=++…+=…===.(2)展开式中各项的系数之和为f(1)=2+22+23+…+2n==2n+1-2.B组提升题组11.C原等式两边求导得10(2x-3)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10.故选C.12.答案40解析在(1+2x)5的展开式中,含x2的项为T3=·13·(2x)2=40x2,∴含x2项的系数为40.13.答案-解析T4==-x-3,所以x-3的系数是-.14.答案10解析由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a3=×(-1)2=10.15.解析(1)二项式系数的和为++…+=210.(2)令x=y=1,则各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为++…+=29,偶数项的二项式系数和为++…+=29.(4)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,∴奇数项系数和为;①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,∴偶数项系数和为.16.解析(1)由题意知+=2,∴n2-21n+98=0,∴n=7或n=14.当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,T4的系数为23=,T5的系数为24=70.当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,T8的系数为27=3432.(2)由题意知++=79,∴n2+n-156=0.∴n=12或n=-13(舍去).设Tk+1项的系数最大,∵=(1+4x)12,∴∴9.4≤k≤10.4,又k为整数,∴k=10.∴展开式中系数最大的项为T11,T11=××210×x10=16896x10.
