题1判断下列命题的真假(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直．题2如果，，，那么．题3如图所示，已知平面平面=，为、外一点，于，于，于．证明：．题4如图，直角所在平面外有一点，，且为斜边的中点．求证：平面．题5题面：如图，四棱锥中，∥,，侧面为等边三角形．．证明：．题6如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且．求证：．题7一个多面体的直观图及三视图如图所示．(其中M、N分别是AF、BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A—CDEF的体积．题8四棱锥P—ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．(1)求证：BE∥平面PAD；(2)平面EBD能垂直于平面ABCD吗？为什么？题9如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．题10平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点，连、，且、分别是在、上的射影．(1)求证：；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？课后练习详解题1答案：错误，错误．详解：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体中，平面平面，平面平面，在上取点，连结，则，即过棱上一点的直线与棱垂直，但与平面不垂直，其错误的原因是没有保证在平面内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体中，平面平面，平面，平面，且，即与相互垂直，但与平面不垂直．题2答案：见详解．详解：证法一：如图所示，设，，过平面内一点作于，作于． ，∴．又，∴，同理可证． 且，∴．证法二：如图所示，设，在平面内作直线． ，∴．设，在平面内作直线．同理可证，因此．由于，，∴．而，，∴．故由知，．题3答案：见详解．详解： ，，∴．∴、、、四点共面． ，，，∴，．又，∴平面．∴．题4答案：见详解．详解： ，为中点∴即又，∴≌≌∴．即，，∴平面．题5答案：见详解．详解：证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．连结SE，则又SD=1，故所以为直角．由，得,所以．SD与两条相交直线AB、SE都垂直．所以题6答案：见详解．详解：由已知可得于是有,所以，又，所以平面，则题7答案：（1）见详解；（2）．详解：由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE—BCF，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝90°．(1)取BF的中点G，连结MG、NG，由M、N分别为AF、BC中点，可得NG∥CF，MG∥EF⇒面MNG∥面CDEF⇒MN∥面CDEF．(2)取DE中点为H，连结AH，因为AD＝AE⇒AH⊥DE．在直三棱柱ADE—BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，面ADE∩面CDEF＝DE⇒AH⊥平面CDEF⇒多面体A—CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝，SCDEF＝DE·EF＝4⇒棱锥A—CDEF的体积V＝SCDEF·AH＝．题8答案：见详解．详解：(1)如图所示，取PD的中点F，连接EF，易证四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF．又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．(2)平面EBD不能垂直于平面ABCD，理由如下：假设平面EBD⊥底面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO，由于A，O，C是P，E，C三点在平面ABCD上的射影，P，E，C三点均在直线PC上，故它们的射影也共线． 平面EBD⊥平面ABCD，EO⊂平面EBD，EO⊥BD，BD＝平面EBD∩平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，又PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA，而E为PC的中点，∴O为AC的中点，又由AB∥CD，可知△ABO∽△CDO，且相似比为1∶1，∴AB＝CD，这与“四边形ABCD为梯形”矛盾，故假设不成立，从而平面EBD不能垂直于平面ABCD．题9答案：见详解．详解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC．又因为DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC．所以DE⊥A1D,DE⊥C...
