第72讲定点、定值和探索性问题夯实基础【p163】【学习目标】掌握与圆锥曲线有关的定点问题、定值问题的求解方法；会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的探究问题，培养推理思维能力、运算能力．【基础检测】1．若曲线C：λx2－x－λy＋1＝0(λ∈R)恒过定点P，则点P的坐标是()A．(0，1)B．(－1，1)C．(1，0)D．(1，1)【解析】由原曲线方程可得(x－1)＋λ(y－x2)＝0过定点，则求得即定点P的坐标为(1，1)．【答案】D2．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2－y2＝λ(λ为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为()A.B.C．λD．无法确定【解析】设M(m，n)，即有m2－n2＝λ，双曲线的渐近线为y＝±x，可得|MN|＝，由勾股定理可得|ON|＝＝＝，可得|ON|·|MN|＝·＝＝.【答案】B3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D，设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则＝________．【解析】设直线AB的方程为y＝k1(x－2)，联立得k1y2－4y－8k1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AC的方程为y＝(x－1)，联立得y2－y－＝0，则y1yC＝－4，故yC＝，同理yD＝，故k2＝＝＝＝2k1，故＝.【答案】4．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．如果OA·OB＝－4，则直线l必过定点________．【解析】设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2，0)．【答案】(2，0)【知识要点】1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．典例剖析【p163】考点1圆锥曲线中的定点问题已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上第一象限内的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1.过A点作抛物线C的两条动弦AD，AE，且AD，AE的斜率满足kAD·kAE＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．【解析】(1)设抛物线方程为C：y2＝2px(p>0)，由其定义知|AF|＝1＋，又|AF|＝2，所以p＝2，y2＝4x.(2)易知A(1，2)，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，DE方程为x＝my＋n(m≠0)，把DE方程代入C，并整理得y2－4my－4n＝0，Δ＝16(m2＋n)＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，由kAD·kAE＝·＝2及y＝4x1，y＝4x2得y1y2＋2(y1＋y2)＝4，所以n＝2m－1，代入DE方程得：x＝my＋2m－1，即(y＋2)m＝x＋1，故直线DE过定点(－1，－2)．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．考点2圆锥曲线中的定值问题已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，点P为椭圆C上任一点，若直线PA与PB的斜率之积为－，且椭圆C经过点.(1)求椭圆的方程；(2)若PB，PA交直线x＝－1于M，N两点，过左焦点F作以MN为直径的圆的切线．问切线长是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解析】(1)设P点坐标为P(x0，y0)，由题意知A(－a，0)，B(a，0)，且＋＝1，则kPA·kPB＝·＝＝·＝－＝－，即3a2＝4b2，①又因为椭圆经过点.故＋＝1，②由①②可知，b2＝3，a2＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由(1)知A(－2，0)，B(2，0)，设kPA＝k(k≠0)，由k·kPB＝－，得kPB＝－.所以直线PB的方程为y＝－(x－2)，令x＝－1，则y＝，故M；又直线PA方程为y＝k(x＋2)，令x＝－1，则y＝k，故N(－1，k)．如图，因为yMyN＝k·＝＞0，故以MN为直径的圆在x轴...
