专题限时集训(十)数列、等差数列、等比数列](时间：5分钟＋40分钟)基础演练夯知识1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝()A．8B．12C．16D．242．等比数列{an}中，a2＝1，a8＝64，则a5＝()A．8B．12C．8或－8D．12或－123.已知等差数列{an}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝()A．8B．21C．28D．354．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于()A．1B．－1C．2D.5．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a5＝________．提升训练强能力6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝()A.36B.72C.144D．707.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝()A．5B．6C．7D．88．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a1＝2，则a4等于()A．16B．16或－16C．－54D．16或－549．设等比数列{an}的前n项积Pn＝a1·a2·a3·…·an，若P12＝32P7，则a10等于()A．16B．8C．4D．210.在各项均为正数的等比数列{an}中，am＋1am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前n项积为Tn，若T2k－1＝512(k∈N*)，则k的值为()A．4B.5C．6D．711.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝11，S11＝9，则S20＝________．12.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a3a4a8＝8，则T9＝________．13.已知等比数列{an}中，a4＋a8＝dx，则a6(a2＋2a6＋a10)＝________．14．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．(1)求数列{an}的公比q；(2)证明：ak，ak＋6，ak＋3(k∈N*)成等差数列．15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若∀n∈N*，k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．16.已知函数f1(x)＝，fn＋1(x)＝f1(fn(x))，且an＝.(1)求证：{an}为等比数列，并求其通项公式；(2)设bn＝，g(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，求证：g(bn)≥.专题限时集训(十)【基础演练】1．C[解析]由a5＝a1＋4d＝8，S3＝3a1＋d＝6，解得a1＝0，d＝2，所以a9＝0＋8×2＝16.2．C[解析]设数列{an}的公比为q.易知a5是a2和a8的等比中项，因此a＝a2a8＝1×64＝64.又由于＝q3，所以a5与a2的符号可能相同，也可能不相同，因此a5＝±8.3．C[解析]由a3＋a4－a5＋a6＝8，得a3＋a5＝8，所以a1＋a7＝8，所以S7＝＝28.4．A[解析]＝＝＝×＝1.5．9[解析]a5＝S5－S4＝52－42＝9.【提升训练】6．B[解析]由a2＋a4＋a9＝24，得3a1＋12d＝24，即a1＋4d＝8，即a5＝8，所以S9＝×9＝9a5＝72.7．D[解析]由Sn＋2－Sn＝36，得an＋2＋an＋1＝36，即a1＋(n＋1)d＋a1＋nd＝36.又a1＝1，d＝2，所以n＝8.8．D[解析]设等比数列{an}的公比为q，由S3＝2＋2q＋2q2＝14得q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3，因此a4＝2×23＝16或a4＝2×(－3)3＝－54.9．D[解析]由P12＝32P7得a8a9a10a11a12＝32，从而a＝32，a10＝2.10．B[解析]根据等比中项的概念，得am＋1am－1＝a，所以a＝2am(m≥2)．又am＞0，所以am＝2.由于数列{an}为等比数列，故a1＝2，即对任意正整数m，am＝2.T2k－1＝2×22k－2＝512，解得k＝5.11．－20[解析]设数列{an}的公差为d，则依题意有两式相减，得2a1＋19d＝－2，∴S20＝20a1＋190d＝－20.12．512[解析]由a3a4a8＝8，得aq12＝8，即a1q4＝2，即a5＝2，所以T9＝a1a2…a9＝a＝512.13．π2[解析]根据定积分的几何意义，得dx＝π，所以a4＋a8＝π，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a6a6＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝π2.14．解：(1)由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3＋S6.当q＝1时，即得18a1＝3a1＋6a1，解得a1＝0，不成立.当q≠1时，即得＝＋，整理得2q6－q3－1＝0，即2(q3)2－q3－1＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－.(2)证明：由(1)知q3＋1＝2q6，∴ak＋ak＋3＝a1qk－1＋a1qk＋2＝a1qk－1(1＋q3)＝a1qk－1·2q6＝2a1qk＋5，∵2ak＋6＝2a1qk＋5，∴ak＋ak＋3＝2ak＋6，即ak，ak＋6，ak＋3(k∈N*)成等差数列．15．解：(1)当n＝1时，a1＝1，3an＋1＋2Sn＝3a2＋2a1＝3⇒a2＝；当n≥2时，3an＋1＋2Sn＝3，3an＋2Sn－1＝3，两式相减可得3(an＋1－an)＋2(Sn－Sn－1)＝0，即3an＋1－an＝0，即＝.故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)因为∀n∈N*，k≤Sn恒成立，且Sn＝，即k≤，所以k≤1－.当n＝1时，1－取得最小值，所以k≤，故实数k的最大值为.16．解：(1)a1＝＝，＝＝＝＝－，∴an＝.(2)证明：由(1)知bn＝2n，g(bn)＝1＋＋＋…＋，只要证：1＋＋＋…＋≥.下面用数学归纳法证明：n＝1时，1＋＝，结论成立；假设n＝k(k≥1)时，1＋＋＋…＋＞成立，那么n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋…＋＞＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝，结论也成立．所以n∈N*时g(bn)≥恒成立．
