课时作业15导数与函数的极值、最值一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(C)A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值解析：由题可知，f(x)在(－3，－)和(2,4)上为减函数，在(－，2)和(4,5)上为增函数，所以A，B均错误，C正确；在x＝2处左增右减，x＝2是函数极大值点，D错误．2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(D)A．－4B．－2C．4D．2解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(C)A．11或18B．11C．18D．17或18解析： 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴解得或而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.4．(多选题)下列函数中，存在极值点的是(BD)A．y＝x－B．y＝2|x|C．y＝－2x3－xD．y＝xlnx解析：由题意，函数y＝x－，则y′＝1＋>0，所以函数y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点．函数y＝2|x|＝根据指数函数的图象与性质可得，当x<0时，函数y＝2|x|单调递减，当x>0时，函数y＝2|x|单调递增，所以函数y＝2|x|在x＝0处取得极小值；函数y＝－2x3－x，则y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点；函数y＝xlnx，则y′＝lnx＋1，x>0，当x∈时，y′<0，函数单调递减，当x∈时，y′>0，函数单调递增，当x＝时，函数取得极小值；故选BD．5．函数f(x)＝sinx－x在区间[0,1]上的最小值为(D)A．0B．sin1C．1D．sin1－1解析：由题得f′(x)＝cosx－1，因为x∈[0,1]，所以f′(x)≤0，所以函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝sin1－1，故选D．6．若x＝1是函数f(x)＝ax2＋lnx的一个极值点，则当x∈时，f(x)的最小值为(A)A．1－B．－e＋C．－－1D．e2－1解析：由题意得f′(1)＝0， f′(x)＝2ax＋，∴f′(1)＝2a＋1＝0，∴a＝－，∴f′(x)＝－x＋＝.∴当x∈时，f′(x)≥0，当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，∴f(x)min＝min＝－e2＋1，故选A．7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋clnx(a>0)在x＝1和x＝2处取得极值，且极大值为－，则函数f(x)在区间(0,4]上的最大值为(D)A．0B．－C．2ln2－4D．4ln2－4解析：f′(x)＝2ax＋b＋＝(x>0，a>0)．因为函数f(x)在x＝1和x＝2处取得极值，所以f′(1)＝2a＋b＋c＝0①，f′(2)＝4a＋b＋＝0②.又a>0，所以当02时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当12.由于f′(x)＝axlna＋2x－lna＝(ax－1)lna＋2x，所以当x>0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)max＝f(1)＝a＋1－lna，f(x)min＝f(0)＝1，所以f(x)max－f(x)min＝a－lna，故a－2≥a－lna，即lna≥2，解得a≥e2.9．(多选题)已知函数f(x)＝xlnx＋x2，x0是函数f(x)的极值点．下列选项正确的是(AC)A．0C．f(x0)＋x0<0D．f(x0)＋x0>0解析：因为f(x)＝xlnx＋x2，则f′(x)＝lnx＋1＋x，所以f′＝>0，又当x→0时，f′(x)→－∞，所以0
