课时作业18导数与函数的零点问题1．设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a
(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根
若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，解得x>1或x0，即a>1时，则当01时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx＋－＝(x>0)，当－1≤a≤1时，要证f(x)>g(x)，即证F(x)>0，即证xlnx－asinx＋1>0
证法1：要证xlnx－asinx＋1>0，即证xlnx>asinx－1
①当0h(0)＝0，即x>sinx
所以ax－1>asinx－1，(*)令q(x)＝xlnx－x＋1，q′(x)＝lnx，令x∈(0,1)时，q′(x)0，q(x)在(1，＋∞)上单调递增，故q(x)≥q(1)＝0，即xlnx≥x－1，当且仅当x＝1时，取等号．又因为0asinx－1，所以当0asinx－1
②当a＝0时，即证xlnx>－1，令m(x)＝xlnx，m′(x)＝lnx＋1，m(x)在上单调递减，在上单调递增，故m(x)min＝m＝－>－1，故xlnx>－1
③当－1≤aasinx－1；当x∈(1，＋∞)时，asinx－1≤0，由②知m(x)＝xlnx>m(1)＝0，故xlnx>asinx－1
所以当x∈(0，＋∞)时，xlnx>asinx－1
综上①②③可知，当－1≤a≤1时，f(x)>g(x)．证法2：当－1≤a≤1时，证明xlnx－asinx＋1>0，①当x>1时，易知xlnx>0，asinx－1≤0，故xlnx－asinx＋1>0；②当x＝1时，0－asin1＋1>0显然成立，故xlnx－asi
