课时作业18导数与函数的零点问题1．设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增．∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)方程f(x)＝0恰好有两个实数根，等价于直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有两个交点． y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3.令y′>0，解得x>1或x<－1；令y′<0，解得－1
g(x)．解：(1)f′(x)＝－＝(x>0)，当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值；当a－1>0，即a>1时，则当0a－1时，f′(x)>0，函数f(x)在(a－1，＋∞)上单调递增，故f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)．综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；当a>1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx＋－＝(x>0)，当－1≤a≤1时，要证f(x)>g(x)，即证F(x)>0，即证xlnx－asinx＋1>0.证法1：要证xlnx－asinx＋1>0，即证xlnx>asinx－1.①当0h(0)＝0，即x>sinx.所以ax－1>asinx－1，(*)令q(x)＝xlnx－x＋1，q′(x)＝lnx，令x∈(0,1)时，q′(x)<0，q(x)在(0,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，q′(x)>0，q(x)在(1，＋∞)上单调递增，故q(x)≥q(1)＝0，即xlnx≥x－1，当且仅当x＝1时，取等号．又因为0asinx－1，所以当0asinx－1.②当a＝0时，即证xlnx>－1，令m(x)＝xlnx，m′(x)＝lnx＋1，m(x)在上单调递减，在上单调递增，故m(x)min＝m＝－>－1，故xlnx>－1.③当－1≤a<0时，当x∈(0,1]时，asinx－1<－1，由②知m(x)＝xlnx≥－，而－>－1，故xlnx>asinx－1；当x∈(1，＋∞)时，asinx－1≤0，由②知m(x)＝xlnx>m(1)＝0，故xlnx>asinx－1.所以当x∈(0，＋∞)时，xlnx>asinx－1.综上①②③可知，当－1≤a≤1时，f(x)>g(x)．证法2：当－1≤a≤1时，证明xlnx－asinx＋1>0，①当x>1时，易知xlnx>0，asinx－1≤0，故xlnx－asinx＋1>0；②当x＝1时，0－asin1＋1>0显然成立，故xlnx－asinx＋1>0；③当00，故－sinx≤asinx≤sinx，令h(x)＝x－sinx，h′(x)＝1－cosx≥0；所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)>h(0)＝0，即x>sinx，故asinx0，由q′(x)＝lnx，当x∈(0,1)时，q′(x)<0，q(x)在(0,1)上单调递减，故q(x)>q(1)＝0，故xlnx－asinx＋1>0，综上①②③可知，当－1≤a≤1时，f(x)>g(x)．证法3：易知f(x)－g(x)＝lnx＋－a，要证f(x)>g(x)，即证lnx＋>a·，令φ(x)＝lnx＋，则φ′(x)＝，故φ(x)min＝φ(1)＝1，故φ(x)>1.令h(x)＝sinx－x，h′(x)＝cosx－1≤0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，由h(0)＝0，从而知当x>0时，sinxa·.综上，当－1≤a≤1时，f(x)>g(x)．3．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋.(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)为增函数，且f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2＋b＋(x∈R)，则f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．令f′(x)>0，解得x<0或x>ln2，令f′(x)<0，解得0
